Blog Koma - Barisan dan Deret Aritmetika membahas khusus tentang kumpulan suatu bilangan yang memiliki pola tersendiri. Disini akan dibedakan tentang barisan dan deret. Adapun materi yang akan kita pelajari pada barisan dan deret aritmetika adalah barisan, sisipan, suku tengah, dan jumlah $ n \, $ suku pertama suatu deret aritmetika. Selain barisan dan deret aritmetika, juga akan dibahas tentang barisan dan deret geometri, silahkan dibaca pada artikel "Barisan dan Deret Geometri". Untuk lebih jelasnya, mari kita simak penjelasan masing-masing berikut ini.
Barisan Aritmetika
Pengertian barisan Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola tertentu. Bentuknya disusun sebagai berikut : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $ Keterangan : $ u_1 \, $ artinya suku ke-1 (suku pertama) $ u_2 \, $ artinya suku ke-2 (suku kedua) dan seterusnya....
Pengertian barisan aritmetika Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai selisih yang sama itu dinamakan bedanya yang disimbulkan dengan huruf $ \, b \, $ . Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $ Cara menghitung bedanya ($b$) adalah $ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4 - u_3 = .....= u_n - u_{n-1} \, $ Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya adalah $ \, u_n = a + (n-1)b $ dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ b $ = bedanya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$ Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, dapat disusun barisan aritmetikanya, $ u_n = a + (n-1)b $ $ u_1 = a + (1-1)b = a $ $ u_2 = a + (2-1)b = a + b $ $ u_3 = a + (3-1)b = a + 2b $ $ u_4 = a + (4-1)b = a + 3b $ $ u_5 = a + (5-1)b = a + 4b $ dan seterusnya ..... sehingga barisan aritmetikanya : $ a, \, a+b, \, a+2b, \, a+3b, \, .... $ Suku Tengah barisan aritmetika
Menentukan suku tengah ($u_t$) Barisan aritmetika mempunyai suku tengah dengan syarat banyak suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan $ u_t \, $ yang dapat dicari nilainya dari barisan yang banyak sukunya berhingga. Rumus suku tengah : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $ Keterangan : $ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya, $ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya. Sisipan pada barisan aritmetika
Menentukan barisan baru setelah disisipkan $ k \, $ suku Misalkan awalnya ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, .... $ Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sebanyak $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan aritmetika. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya beda baru setelah disisipkan. Beda barunya : $ b^* = \frac{b}{k+1} $ Keterangan : $ b \, $ = beda awal dari barisan sebelum disisipkan $ b^* \, $ = beda baru setelah barsian disisipkan (beda barisan baru) $ k \, $ = banyak suku yang disisipkan. Deret aritmetika
Jumlah $ n \, $ suku pertama deret aritmetika Deret aritmetika merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan aritmetika. Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama. Misalkan : $ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama) $ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama) $ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah 3 suku pertama) $ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 suku pertama) dan seterusnya. Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama berdasarkan : *). Diketahui suku pertama ($u_1$) dan suku terakhirnya ($u_n$), $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) $ *). Diketahui suku pertama ($u_1 = a $) dan bedanya ($b$), $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $ *). Diketahui banyak suku ($n \, $ suku) dan suku tengahnya ($u_t$), Rumus suku tengahnya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $ Rumus jumlahnya : $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = n . \frac{u_1 + u_n}{2} = n . u_t $ Sehingga : $ s_n = n.u_t $ Ketiga rumus $ s_n \, $ di atas memberikan hasil yang sama. Jika sobat tidak ingin mengingat ketiganya, cukup ingat rumus kedua saja yaitu $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $ Contoh : 1). Tentukan jumlah 11 suku pertama dari barisan 2, 4, 6, 8, ....? Penyelesaian : *). Dari barisan diperoleh $ a = 2 \, $ dan $ b = 4-2 = 2 $ Jumlah 11 suku pertamanya : $ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{11} & = \frac{11}{2}(2.2 + (11-1)2) \\ & = \frac{11}{2}(4 + 20) \\ & = \frac{11}{2}(24) \\ & = 11 . 12 = 132 \end{align} $ 2). Diketahui suatu barisan aritmetika yang terdiri dari 11 suku dengan suku tengahnya adalah 34. Tentukan jumlah 11 suku pertama barisan tersebut.! Penyelesaian : Diketahui $ n = 11 \, $ dan $ u_t = 34 $ Sehingga jumlah 11 suku pertamanya adalah : $ s_n = n.u_t \rightarrow s_{11} = 11 . 34 = 374 $ 3). Tentukan jumlah semua bilangan antara 5 sampai 200 yang habis dibagi 4! Penyelesaian : *). Pertama kita daftar dulu bilangan-bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampai 200. Bilangannya : 8, 12, 16 ... , 196 dengan $ a = 8 \, $ dan $ b = 8 - 4 = 4 $ *). Menentukan banyaknya suku dengan menggunakan suku terakhir ($u_n = 196$) $ \begin{align} u_n & = 196 \\ a + (n-1)b & = 196 \\ 8 + (n-1)4 & = 196 \\ 8 + 4n - 4 & = 196 \\ 4n & = 192 \\ n & = \frac{192}{4} = 48 \end{align} $ artinya ada 48 bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampai 200 . Sehingga jumlah semua bilangan $ 8 + 12 + 16 + .... + 196 \, $ yang ada 48 suku $ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) \\ s_{48} & = \frac{48}{2}(8 + 196) \\ & = 24 \times 204 = 4896 \end{align} $ Jadi, jumlah semua bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampi 200 adalah 4.896Barisan dan deret Aritmetika juga sering dikaitkan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dalam penyelesaian suatu soal SBMPTN atau soal-soal masuk perguruan tinggi negeri. Silahkan juga baca materi mengenai persaman dan fungsi kuadrat. |