Tentukan persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar negatif 3 dan negatif 2

         Blog Koma - Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ secara umum mempunyai dua akar yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Tentu dari kedua akar-akar ini memiliki sifat-sifat tertentu, misalkan keduanya positif, keduanya negatif, berlainan tanda, berlawanan tanda, atau mungkin berkebalikan. Sifat-sifat akar persamaan kuadrat ini lah yang akan dibahas pada artikel ini, yang lebih khusus lagi tentang syarat-syarat yang harus terpenuhi sesuai dengan sifat masing-masing yang ada.

         Adapun sifat akar-akar persamaan kuadrat yaitu :

(i). Akar-akar positif ($ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0$ )          Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $ (ii). Akar-akar positif berlainan ($ x_1 > 0 \, , \, x_2 > 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )          Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $ (iii). Akar-akar negatif ($ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 < 0$ )          Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $ (iv). Akar-akar negatif berlainan ($ x_1 < 0 \, , \, x_2 < 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )          Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $ (v). Akar-akar berlainan tanda ($ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 < 0 \, $ atau $ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 > 0 $)          Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (2). $ D > 0 $ (vi). Akar-akar berlawanan tanda ( $ x_1 = - x_2 \, $ atau $ x_2 = -x_1 $ )          Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 = 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (3). $ D > 0 $ (vii). Akar-akar berkebalikan ( $ x_1 = \frac{1}{x_2} \, $ atau $ x_2 = \frac{1}{x_1} $ )

         Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $

Contoh 1.

Persamaan kuadrat $ x^2 - 2x + m -1 = 0 \, $ mempunyai dua akar positif berlainan, tentukan interval nilai $ m \, $ yang memenuhi ?

Penyelesaian : $\clubsuit \,$ PK $ x^2 - 2x + m -1 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = m-1 $ $\clubsuit \,$ Syarat akar-akar positif berlainan (1). $ x_1 + x_2 > 0 \rightarrow \frac{-b}{a} > 0 \rightarrow \frac{-(-2)}{1} > 0 \rightarrow 2 > 0 \, $ (benar) (2). $ x_1 . x_2 > 0 \rightarrow \frac{c}{a} > 0 \rightarrow \frac{m-1}{1} > 0 \rightarrow m > 1 \, $ (HP1) (3). $ D > 0 $ $\begin{align} b^2 - 4ac & > 0 \\ (-2)^2 - 4.1.(m-1) & > 0 \\ 4 - 4( m-1) & > 0 \\ 4 - 4m + 4 & > 0 \\ -4m & >-8 \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ m & < 2 \, \, \, \, \text{(HP2)} \end{align}$ Nilai $ m \, $ yang memenuhi adalah irisan dari semua syarat : Sehingga solusinya : HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ 1 < m < 2 \} $

Jadi, interval nilai $ m \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 1 < m < 2 \} . \heartsuit $

Contoh 2.

Jika Persamaan kuadrat $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 \, $ mempunyai akar-akar berkebalikan, tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi?

Penyelesaian : $\spadesuit \, $ PK $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $ $ \rightarrow a = 2p-1, \, b = -5, \, c = 3p-2 $ $\spadesuit \, $ Syarat akar-akar berkebalikan : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $ *). Syarat pertama : $ x_1 . x_2 = 1 $ $\begin{align} x_1 . x_2 & = 1 \\ \frac{c}{a} & = 1 \\ c & = a \\ 3p-2 & = 2p-1 \\ p & = 1 \end{align}$ Sehingga PK nya menjadi : $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $ $ (2.1-1)x^2 -5x+3.1-7 = 0 $ $ x^2 - 5x + 1 = 0 $ *). Cek syarat kedua : $ D > 0 $ $ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4.1.1 = 25 - 4 = 21 > 0 \, $ (benar) Karena nilai $ p = 1 \, $ memenuhi kedua syarat, maka solusinya adalah $ p = 1 $ Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ p = 1 . \heartsuit $

Catatan : Jika setelah nilai $ p = 1 \, $ disubstitusikan ke PK dan nilai $ D \, $ nya tidak lebih dari nol, maka $ p =1 \, $ bukanlah sebagai solusi, artinya tidak ada solusi yang memenuhi.

Contoh 3.

Persamaan kuadrat $ 2x^2 - (p^3+2p^2-3p-4)x + 7 = 0 \, $ mempunyai dua akar berlawanan. Jika akar-akar PK tersebut adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ , maka nilai $ x_1^2 + x_2^2 \, $ adalah .... ?

Penyelesaian : $\clubsuit \,$ PK $ 2x^2 - (p^3+2p^2-3p-4)x + 7 = 0 $ $ a = 2, \, b = - (p^3+2p^2-3p-4), \, c = 7 $ $\clubsuit \,$ Syarat akar-akar berlawanan : $ x_1 + x_2 = 0 $

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x_1^2 + x_2^2 \, $ , dengan operasi akar-akar

Catatan : Pada penyelesaian ini kita tidak perlu menentukan nilai $ p \, $ nya dulu.

         Dari syarat-syarat untuk masing-masing sifat akar, penting bagi kita untuk mengingat bahwa semua syarat harus terpenuhi. Agar bisa terpenuhi, maka kita harus mengiriskan semua syarat yang ada. Usahakan mengerjakan syarat yang mudah dulu yaitu untuk penjumlahannya dan operasi perkaliannya, setelah itu baru kita cari syarat nilai diskriminannya yang notabene lebih ribet dan sulit.

Mentok ngerjain soal? Foto aja pake aplikasi CoLearn. Anti ribet ✅Cobain, yuk!

ikon Friends di sini ada pertanyaan tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya negatif 2 dan 5 untuk menyelesaikannya kita akan menggunakan bentuk dari persamaan kuadrat yang akarnya x1 dan x2 adalah x min x 1 * x min x 2 sama dengan nol dengan akar-akar nya adalah min 2 dan 5 maka kita dapatkan x adalah min 2 dan x2 nya adalah 5 sehingga kita dapatkan x dikurangi 2 dikali x dikurangi 5 sama dengan nol atau dapat kita buat menjadi x + 2 * x min 5 sama dengan nol kemudian kita jabarkan X kita kalikan dengan x adalah x kuadrat kemudian X kita kalikan dengan min 5 yaitu Min 5 x kemudiandua kita kalikan dengan x yaitu + 2 x dan 2 kita kalikan dengan min 5 yaitu Min 10 sama dengan nol kemudian suku-suku sejenis akan kita operasikan yaitu Min 5 x ditambah 2 x sehingga kita dapatkan x kuadrat min 3 x min 10 = jadi kita dapatkan persamaan kuadrat yang akarnya min 2 dan 5 adalah x kuadrat min 3 x min 10 sama dengan nol demikian sampai jumpa di pertanyaan berikutnya

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 dan 3 adalah....

Mau dijawab kurang dari 3 menit? Coba roboguru plus!