Quando o sol se encontra a 40 graus acima do horizonte

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em Â ( Â = 90°), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos agudos (menores que 90°). A b c B β α C a Enunciado do teorema de PITÁGORAS: "O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. " Na figura: a2 = b2 + c2 ainda: " Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares (a soma de suas medidas é igual a 90°) ". Na figura: a + β = 90º Exercícios 1. Usando o teorema de Pitágoras, calcule o valor de x nas figuras abaixo: a) x 3

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C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br b) 2√3 x 4 c) x 4 4 2. Determine o valor de a ou R nas figuras seguintes: a) 60º α b) β 45 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Considere o triângulo retângulo ABC, reto em A e um de seus ângulos agudos, a por exemplo.

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C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br C α a b A B c O ângulo a é formado pela hipotenusa a e pelo cateto b. Este cateto é adjacente a α e assim c é o cateto oposto a α. DEFINIÇÕES: Seno de um ângulo a é a razão entre o seu cateto oposto e a hipotenusa. Na figura: sen a = c a Cosseno de um ângulo a é a razão entre o seu cateto adjacente e a hipotenusa. Na figura: Cos α = b a Tangente de um ângulo Na figura: é a razão entre o seu cateto oposto e o seu cateto adjacente. Tg α = c b As funções cossecante, secante e cotangente são definidas como o inverso do seno, Cosseno e tangente respectivamente. Observação O cálculo destas funções é feito baseado em seno, Cosseno e tangente e consequentemente, em seus inversos. Cossec α = 1 sem α sec α = 1 cos α

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C cotg α = Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br 1 tg α TABELA DE VALORES NOTÁVEIS O valor de uma função trigonométrica depende do ângulo a que for aplicada. Os catetos, adjacente e oposto, não são fixos. Os valores de ângulo da tabela abaixo são importantes devido ao seu uso freqüente. 0º 30º 45º 60º 90º SENO 0 COSSENO 1 TANGENT 0 E 1 2 √3 2 √3 3 √2 2 √2 2 √3 2 1 2 1 √3 1 0  Exercícios 1. Calcule os valores pedidos na figura abaixo: 10 8 β 6 sen β = cos β = tg β = 2. Calcule o valor de "x" e de "y" em cada uma das figuras abaixo: a) 30º x y

4 IETAV System - CGC: 03.755.533/0001-71 - Fone/Fax: (24) 3360-0011 [email protected] Suporte online: ICQ - 64550529 –4–

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br b) x 3√2 45º TRIÂNGULOS QUAISQUER Num triângulo ABC qualquer, dados três de seus elementos, um dos quais deve ser o lado, determinar os outros três elementos e a área, significa resolver o triângulo. Na solução de problemas desse tipo, utilizaremos duas leis importantes: a lei dos senos e a lei dos cossenos, ambas com aplicação em Física. Para a correta aplicação destas leis, tenha em mente a seguinte figura geral: A b c C a B Note que ao ângulo A se opõe o lado a e assim por diante. LEI DOS SENOS "Em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale 2R, onde R é a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. " Ou, o que é equivalente: a = sen a b sen b = c = 2R sen c LEIS DOS COSSENOS

"Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado (a) é igual à soma dos quadrados dos dois outros lados (b e c), menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado." Aplicando a lei dos cossenos aos três lados (a, b e c) obteremos as seguintes expressões: IETAV System - CGC: 03.755.533/0001-71 - Fone/Fax: (24) 3360-0011 [email protected] Suporte online: ICQ - 64550529 –5–

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C E ainda: LEIS DAS AREAS S = bc sem A = ab sem C = ac sem B 2 2 2 Exercício 1. Calcule o valor de x nas figuras: a) x 3√2 45 120º b) 6 x 60 3

IETAV System - CGC: 03.755.533/0001-71 - Fone/Fax: (24) 3360-0011 [email protected] Suporte online: ICQ - 64550529 –6–

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br TESTES 01. Analise as proposições: 01) Todo triângulo é retângulo. 02) Somente nos triângulos retângulos é possível a aplicação do teorema de Pitágoras. 04) Um triângulo retângulo pode ter um ângulo obtuso. 08) Os dois catetos de um triângulo retângulo sempre têm a mesma medida. 16) O maior lado de um triângulo retângulo é sempre a hipotenusa. 32) O triângulo retângulo pode ter três ângulos internos agudos. 02. Num triângulo retângulo um dos ângulos mede 30°. Assinale a soma das proposições verdadeiras: 01) O cateto oposto a esse ângulo mede a metade da hipotenusa. 02) O outro ângulo do triângulo também mede 30°. 04) Um dos outros dois ângulos do triângulo é obtuso. 08) A soma das medidas dos outros dois ângulos do triângulo é 150°. 16) O cateto adjacente a esse ângulo mede a metade da sua hipotenusa. 03. A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? 04. Dado o triângulo retângulo da figura seguinte, onde tg α = 0,22 e tg β = 0,25 o valor de x é: x β α 20 a) 0,520 b) 3,5 c) 0,6 d) 2,4 e) 1,8 05. (UFPR) - Os lados do triângulo abaixo, medem respectivamente 3, 4 e 5 unidades de comprimento. Então sen β é igual a: β

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C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br a) 0,4 b) 0,6 c) 0,8 d) 0,7 e) 0,5 06. Na figura, os valores de x e y são, respectivamente: y 30 A 4 60 B x a) 2√2 e √3 b) 2 e 2√3 c) 3 e 3√3 d) √3 e 3√3 e) 4 e √3 07. Uma torre projeta uma sombra de 40 m, quando o Sol se encontra a 64° acima do horizonte (ângulo de elevação). Calcule a altura da torre. Dados: sen 64° = 0,89; cos 64° = 0,43; tg 64° = 2,05 64º

40m 08. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 5 m e um dos catetos 2,5 m. Determine o ângulo formado pela hipotenusa e por esse cateto. a) 30° b) 60° c) 45° d) 90° e) 75° IETAV System - CGC: 03.755.533/0001-71 - Fone/Fax: (24) 3360-0011 [email protected] Suporte online: ICQ - 64550529 –8–

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br 09. Para medir a altura de um barranco, um observador desloca-se na direção desse barranco até que sua linha de visada, em A, faz 30° com a horizontal. A seguir, o observador desloca-se de 20 m de forma que a nova linha de visada faça 60° com a horizontal. Considerando-se a altura do observador 2 m e adotando-se √3 =1,7 a altura do barranco será aproximadamente: 10. Na figura abaixo, o valor de x é: x 30 7√3 a) 5 b) 6 c) 5√3 d) 7 e) 7√3 11. Baseado na figura abaixo, calcule o valor de: 2 sen α + 3 tg α. 3 α 3√3

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C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br a) 2√3 b) 1 c) 1+ √3 d) 4 e) √3 2 12. O valor de x no triângulo abaixo é: x 5 120 10 a) 5√2 b) 5√3 c) 5√5 d) 5√7 e) 5√10 13. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando o navio está em A, o comandante observa o farol em L, e calcula o ângulo LAC = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica-se o ângulo LBC = 75°. Quantas milhas separa o farol do ponto B? L A Å 4 milhas Æ C a) 4 b) 2√2 c) 6 d) 5 e) 7

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C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br 14. Calculando o valor do comprimento da corda AB relativa a uma circunferência de raio R e cujo centro é vértice do triângulo eqüilátero, conforme afigura, obtém-se: A B a) R b) R√3 c) 2 R d) R√2 e) 4√R 15. Na figura a seguir, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de raio R. Sendo Â = 45° e BC = √2, o raio R terá valor, em metros, igual a: A B C a) 5√2 b) 1 c) 3√2 d) 0,2 e) 4√2 16. A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d'água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa d'água e o ângulo formado pelas direções caixa d'água bomba e caixa-d'água casa é de 60°. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários?

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C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br Caixa 60 80m Casa x 17. Uma escada com pé na rua faz um ângulo de 30° com a horizontal, quando seu topo se apóia num edifício de um lado da rua e um ângulo de 60°, quando o apoio é feito no edifício do outro lado. Tendo a escada 20 m de comprimento, qual a largura da rua? (considere √3 = 1,732). 20m 60º 30º a) 28,20 m b) 20,28 m c) 27,32 m d) 30,10 m e) 32,71 m 18. O cateto menor de um triângulo retângulo mede 6m e o cosseno do ângulo oposto a ele vale 4/5. A medida do outro cateto é: a) 4 m b) 6 m c) 10m d) 8 m e) 12 m RELAÇÕES FUNDAMENTAIS Algumas são consequências da definição como já vimos: Cossec x = 1 sen x sec x = 1 cos x

cotg x = 1 . tg x IETAV System - CGC: 03.755.533/0001-71 - Fone/Fax: (24) 3360-0011 [email protected] Suporte online: ICQ - 64550529 – 12 –

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br Outras fórmulas podem ser deduzidas do teorema de Pitágoras: Importante Sen2x + cons2x = 1 E ainda. Sec2x = 1 + tg2x tg x = sen x cos x cossec2x = 1 + cotg2x cotg x = cos x sen x Memorize as relações acima. Elas serão extremamente importantes para o nosso estudo de agora em diante... Exercícios 1. Usando as fórmulas, prove que: a) tg x = cossec x b) sec x cos x - sec x = 0 1- sen2x CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Circunferência trigonométrica é a circunferência de raio unitário (R = 1), um ponto de origem dos arcos (ponto A) e um sentido positivo de percurso (anti-horário). + Anti – Horário A R=1 - Horário (negativo) IETAV System - CGC: 03.755.533/0001-71 - Fone/Fax: (24) 3360-0011 [email protected] Suporte online: ICQ - 64550529 – 13 –

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br Considerando ainda o centro dessa circunferência coincidindo com o centro do sistema de eixos cartesianos, adotando a divisão em quadrantes e os sinais destes. 90 º 180º II I III VI 0º 360º 270 QUADRANT RADIANO GRAUS E S I 0 Æ 90 0 Æ π/2 II 90 Æ 180 π/2 Æ π 180 Æ III π Æ 3π/2 270 270 Æ IV 3π/2 Æ 2π 360 Observação Transformação de unidades • Para transformarmos um ângulo de graus para radianos, simplificamos o número por 180 e multiplicamos o resultado por π. 240° = 150° = • Para transformarmos um ângulo de radianos para graus, substituímos por 180° e efetuamos a conta.

3π = 4 7π = 6 Na circunferência trigonométrica, cada função adota um eixo e baseado nesse eixo analisamos seus valores e sinais. (não esqueça do raio unitário) Exercícios a) Efetue: IETAV System - CGC: 03.755.533/0001-71 - Fone/Fax: (24) 3360-0011 [email protected] Suporte online: ICQ - 64550529 – 14 –

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br • 120° 30' 45" + 60° 20' 12" • 18° 38' 40" + 136° 46' 42" • 90° - 44° 34' • 56° 24' 36" - 44° 16' 34" Sistema Circular A unidade é chamada de Radiano (rd), que é o ângulo central que intercepta um arco de circunferência de comprimento igual ao raio da circuferência. B R α R AB = α= AB α=1 AA circunferência tem 2 Importante 180º =

Exercícios a) Transformar para radianos: • 60° • 30° • 45° • 120° • 150° IETAV System - CGC: 03.755.533/0001-71 - Fone/Fax: (24) 3360-0011 [email protected] Suporte online: ICQ - 64550529 – 15 –

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br • 135° b) Transformar para graus: 3π rd 2 5π rd 3 2π rd 5 π rd 4 π rd 3 π rd 6

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