Nos triângulos retângulos representados na figura, qual é a medida da tangente do ângulo B

O triângulo retângulo é conhecido assim por ser um triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, medindo 90º. Há nele uma importante relação entre os lados, conhecida como teorema de Pitágoras, que serve para encontrar um dos lados desconhecido, quando conhecemos os outros dois. Chamamos de hipotenusa o maior lado do triângulo retângulo, que fica oposto ao ângulo reto, e os demais lados são conhecidos como catetos. O teorema de Pitágoras diz que a soma do quadrado dos catetos é sempre igual ao quadrado da hipotenusa.

Outro estudo importante em triângulos retângulos é o da trigonometria, que desenvolve métodos para encontrarmos o valor de qualquer outro lado do triângulo retângulo conhecendo um ângulo e um de seus lados. As razões trigonométricas mais comuns são: o seno, o cosseno e a tangente. Os cálculos de área e perímetro possuem fórmulas específicas, válidas para um triângulo qualquer.

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Características do triângulo retângulo

O triângulo retângulo é um polígono que possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Além disso, os seus lados recebem nomes específicos, o maior deles é conhecido como hipotenusa, que sempre fica de frente ao ângulo reto, os outros dois lados são chamados de catetos.

As propriedades válidas para o triângulo também valem para o triângulo retângulo, como: a soma dos seus ângulos internos é sempre igual a 180º. No entanto, especificamente, como um dos ângulos do triângulo retângulo já mede 90º, consequentemente, a soma dos outros dois ângulos é igual a 90º e eles são agudos.

a e b → catetos

c → hipotenusa

Observações:

Note que o lado a é o comprimento da altura também, pois ele é perpendicular à base.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonal.

Como o triângulo retângulo possui um ângulo reto, os ângulos do vértice A e B são agudos e complementares, ou seja, a soma dos dois é igual a 90º.

Para calcular-se o perímetro do triângulo retângulo, assim como em qualquer outro polígono, basta realizar-se a soma de todos os lados. Como ele possui três lados, então seu perímetro é calculado por:

P = a + b + c

Calcule o perímetro do triângulo retângulo a seguir sabendo que a medidas dos seus lados foram dadas em centímetros.

P = 3 + 4 + 5

P = 12 cm

Sabendo-se que o perímetro do triângulo a seguir é 40 cm, qual é o valor de cada um dos lados do triângulo?

Primeiro precisamos encontrar o valor de x, para isso sabemos que a soma dos três lados é igual a 40.

Agora que encontramos o valor de x, é possível encontrarmos o valor de cada um de seus lados.

Então os lados medem: 15 cm, 17 cm e 8 cm.

Veja também: Área e perímetro – quais são as diferenças?

Área do triângulo retângulo

Para calcular-se a área de um triângulo retângulo, a fórmula é a mesma da área de um triângulo qualquer. O que diferencia o triângulo retângulo dos demais é que sua altura é igual a um dos seus catetos, então, para calcular sua área, vamos multiplicar os catetos e dividir por 2.

Qual é a área do triângulo a seguir sabendo-se que suas medidas são dadas em metros?

Para calcular-se a área do triângulo retângulo, precisamos somente dos valores dos catetos, que, nesse caso, medem 6 m e 8 m.

Um triângulo possui área igual a 30 m², qual é o valor de x?

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma relação entre os três lados de um triângulo retângulo. Quando conhecemos dois de seus lados, é possível encontrar o terceiro lado pelo teorema de Pitágoras. Essa relação diz que a soma do quadrado dos catetos é sempre igual ao quadrado da hipotenusa.

Seja a e b os catetos e c a hipotenusa, como na imagem anterior, então podemos descrever o teorema de Pitágoras pela fórmula:

a2 +b² = c²

Qual é o valor da hipotenusa do triângulo sabendo-se que a medida dos catetos está em centímetros?

Conhecemos os dois catetos, seja c a hipotenusa, então, pelo teorema de Pitágoras, temos que:

Um triângulo retângulo possui lados medindo 10 m, 8 m e x. Sabendo-se que o lado que mede 10 m é o maior, qual será o valor de x?

O maior lado do triângulo retângulo é sempre a hipotenusa, então o maior lado mede 10 m. É importante saber que a hipotenusa é que fica isolada no teorema de Pitágoras, por isso a importância de identificá-la.

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Trigonometria no triângulo retângulo

A trigonometria é a área da matemática que faz o estudo das relações entre as medidas de um triângulo levando-se em consideração o valor de seu ângulo, e esse estudo inicia-se no triângulo retângulo. A relação entre os lados do triângulo retângulo de acordo com o seu ângulo também é bastante estudada, logo, as relações trigonométricas servem para encontrar qualquer outro lado do triângulo retângulo conhecendo-se um de seus ângulos e um de seus lados.

Existem mais relações trigonométricas estudadas no círculo trigonométrico, mas as três principais vistas no triângulo são: seno, cosseno e tangente. Acontece que cada uma delas é a razão entre dois lados específicos dessa figura.

Na trigonometria é importante saber identificar os lados de um triângulo, que são conhecidos como hipotenusa, cateto oposto e cateto adjacente.

Hipotenusa: maior lado do triângulo que fica de frente para o ângulo reto. Na imagem a hipotenusa é identificada pela letra c.

Cateto oposto ao ângulo: é o que está de frente ao ângulo de referência. O cateto oposto ao ângulo α na imagem é identificado por pela letra a. O cateto oposto ao ângulo β na imagem é o lado identificado pela letra b.

Cateto adjacente ao ângulo: é que está ao lado do ângulo. Na prática, ele é o cateto que forma o ângulo com a hipotenusa. Na imagem, o cateto adjacente ao ângulo α é identificado como b, e o cateto adjacente ao ângulo β é identificado como a.

Conhecendo-se cada um dos lados do triângulo, as razões trigonométricas são:

Acontece que essas razões tornam-se uma ferramenta interessante quando conhecemos o valor das razões trigonométricas para os ângulos. Existem alguns ângulos conhecidos como notáveis.

Os ângulos notáveis são comumente apresentados em problemas matemáticos, sendo eles os de 30º, 45º e 60º. Para resolver problemas que os envolvem, é necessário conhecer seus valores de seno, cosseno e tangente.

Conhecendo-se os ângulos notáveis, é possível fazer uma comparação, isso significa que o seno de qualquer triângulo de 30º, por exemplo, sempre vai gerar uma razão proporcional à fração ½, e assim sucessivamente para todos os ângulos. Como há essa proporção, é possível descobrir-se o lado do triângulo conhecendo o seu ângulo e o seu lado. Caso o problema envolva um ângulo diferente dos três ângulos notáveis, podemos consultar a tabela trigonométrica ou resolvê-lo utilizando-nos das transformações trigonométricas.

Encontre o valor de x em cada um dos triângulos a seguir.

1º passo: identificar a razão trigonométrica.

Note que 40 é a medida da hipotenusa e que o lado que mede x é oposto ao ângulo do vértice B, do qual conhecemos o valor. Desse modo, a razão trigonométrica que usa cateto oposto e hipotenusa é o seno.

2º passo: Igualar o valor do seno do ângulo ao seno do triângulo.

É necessário consultar o valor do seno de 45º na tabela.

Dados: cateto oposto = x e hipotenusa = 40

Determine o valor de x no triângulo.

1º passo: Identificar a razão trigonométrica.

Como nesse caso temos a hipotenusa e o cateto adjacente do ângulo conhecido, vamos usar cosseno.

2º passo: Igualar o cosseno de 60º ao cosseno do triângulo.

Leia também: Trigonometria em um triângulo qualquer

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Um terreno no formato de um retângulo será dividido ao meio, só que essa divisão será feita com base na sua diagonal, formando-se dois triângulos retângulos. Um desses triângulos está na imagem a seguir, qual será o perímetro de um desses terrenos sabendo-se que os lados do retângulo medem 6 m e 8 m?

a) 10 m

b) 12 m

c) 14 m

d) 24 m

e) 25 m

Resolução

Alternativa D.

Para encontrar o perímetro, precisamos calcular a hipotenusa do triângulo retângulo e, posteriormente, somar todos os lados do triângulo.

Questão 2 - Qual é a área do triângulo retângulo a seguir?

a) 12 cm²

b) 24 cm²

c) 144 cm²

d) 120 cm²

e) 72 cm²

Resolução

Alternativa E.

Para encontrar a área, precisamos encontrar o valor do outro cateto.
Como conhecemos um ângulo e um lado, vamos resolver a questão usando trigonometria.

Primeiro vamos identificar a relação trigonométrica: a relação que usa cateto oposto e cateto adjacente é a tangente. Ao consultarmos a tabela trigonométrica, sabemos que a tg45º = 1.

Agora que conhecemos o valor dos dois catetos, é possível calcularmos a área.