Für welche Figur gilt der Satz des Pythagoras?

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Der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung Hier erfährst du, was der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung besagen und was ein pythagoreisches Zahlentripel ist.

Fast jeder hat den Satz schon einmal gehört: a 2 + b 2 = c 2 . Du kannst die Aussage des Satzes nachvollziehen, wenn du über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat zeichnest. Dann erhältst du diese Figur:

Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten der Längen a und b gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse der Länge c.Als Formel: a 2 + b 2 = c 2

Flächeninhalt eines Kathetenquadrats

Der Satz des Pythagoras gilt aber auch in jedem anders bezeichneten rechtwinkligen Dreieck.

Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich nicht nur Flächeninhalte berechnen, sondern auch die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks.

Länge der Hypotenuse (in cm )

Länge einer Kathete (in cm )

Ein rechter Winkel lässt sich auf ganz einfache Weise im Gelände abstecken. Hierzu nimmst du eine Schnur und unterteilst sie mit 11 Knoten in 12 gleich lange Teile. Mit dieser Schnur kannst du ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 legen, denn 3 + 4 + 5 = 12. Es ergibt sich ein rechter Winkel.

Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck ABC mit den Seitenlängen a , b und c die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite mit der Länge c gegenüberliegt.

Willst du ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit überprüfen, kommt immer nur die längste der drei Seiten als Hypotenuse in Frage.

Ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen c = 8.5 cm , a = 4 cm und b = 7.5 cm rechtwinklig" Als Hypotenuse kommt nur die Seite der Länge c in Frage. Du überprüfst die Gültigkeit der Gleichung a 2 + b 2 = c 2 :

Ist das Dreieck rechtwinklig" (Maße in cm )

Drei natürliche Zahlen a , b , c , die die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 erfüllen, heißen pythagoreisches Zahlentripel ( a , b , c ) (Tripel, weil es drei Zahlen sind). Das Tripel ( 3 , 4 , 5 ) ist ein solches pythagoreisches Zahlentripel.

Jedes rechtwinklige Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen a , b und c liefert ein pythagoreisches Zahlentripel ( a , b , c ). Umgekehrt liefert jedes pythagoreische Zahlentripel ( a , b , c ) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a , b und c . Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung.

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du Aussagen bezüglich der Seitenlängen und der Quadrate über den Seiten rechtwinkliger Dreiecke treffen.

Begriffe in rechtwinkligen Dreiecken:

Der Satz des Pythagoras besagt:

Satz des Pythagoras
In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten genauso groß wie die Fläche des Quadrates über der Hypotenuse.

So lässt sich der Satz des Pythagoras mit Variablen beschreiben:

Liegt der $$90°$$-Winkel bei $$C$$, dann gilt: $$c^2=a^2+b^2$$.

Liegt der $$90°$$-Winkel bei $$B$$, dann gilt: $$b^2=a^2+c^2$$.

Liegt der $$90°$$-Winkel bei $$A$$, dann gilt: $$a^2=c^2+b^2$$.

Der Satz eignet sich zum Berechnen von Seitenlängen.

Beispiel:

Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länger der Seite $$c$$.

So gehst du vor:

1. Darfst du den Satz verwenden?

Ja, das Dreieck hat einen $$90°$$-Winkel.

2. Wo liegt der rechte Winkel? Welche Formel nimmst du?

Der $$90°$$-Winkel liegt bei $$C$$. Dann heißt die Formel: $$c^2=a^2+b^2$$

3. Setze die Zahlen ein.

$$c^2=(6$$ $$cm)^2+(4$$ $$cm)^2$$

4. Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um und berechne.

$$c^2=(6$$ $$cm)^2+(4$$ $$cm)^2 = 52$$ $$cm^2$$   $$|$$ Wurzel ziehen

$$c= sqrt(52 cm^2) approx 7,2$$ $$cm$$

Oder erst umstellen und dann Zahlen einsetzen:

$$c^2=a^2+b^2$$   $$|$$ Wurzel ziehen

$$c= sqrt(a^2+b^2) = sqrt((6 cm)^2 + (4 cm)^2) approx 7,2$$ $$cm$$

Du kannst auch erst die Formel umstellen und dann die Zahlen einsetzen.

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Manchmal sind die Dreiecke nicht mit den Buchstaben $$a$$, $$b$$, $$c$$ bezeichnet. Dann suchst du die Hypotenuse und formulierst danach die Gleichung.

Beispiel 1:

Der $$90°$$-Winkel liegt $$t$$ gegenüber, $$t$$ ist also die Hypotenuse. Die Gleichung lautet $$t^2=s^2+u^2$$.

Beispiel 2:

Der $$90°$$-Winkel liegt $$t$$ gegenüber, $$t$$ ist also die Hypotenuse. Die Gleichung lautet $$t^2=s^2+u^2$$. Dann formst du die Gleichungen nach der gesuchten Größe um.

Es wurde im Abstand von $$250$$ $$m$$ von einem Turm ein $$255$$ $$m$$-langes Seil gespannt. Wie hoch ist der Turm?

1. Darfst du den Satz verwenden?

Ja, der Turm steht ja senkrecht auf der Erde.

2. Wo liegt der rechte Winkel? Welche Formel nimmst du?

$$h$$ und $$e$$ schließen einen rechten Winkel ein.
Dann heißt die Formel: $$l^2=e^2+h^2$$

$$e=250$$ $$m$$, $$l=255$$ $$m$$, $$l$$ ist die Hypotenuse.
Gesucht ist $$h$$.

3. Setze die Zahlen ein.

$$(255$$ $$m)^2 = (250$$ $$m)^2 +$$ $$h^2$$

4. Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um und berechne.

$$(255$$ $$m)^2=(250$$ $$m)^2 +$$ $$h^2$$   $$| -(250$$ $$m)^2$$

$$(255   m)^2 - (250   m)^2 = 2525$$ $$m^2 =$$ $$h^2$$   $$| sqrt( )$$

$$h= sqrt(2525 m^2) approx 50,25$$ $$m$$

Der Turm ist $$50,25$$ $$m$$ hoch.

Oder erst umstellen und dann Zahlen einsetzen:

$$l^2=e^2+h^2$$   $$| -e^2$$ dann $$| sqrt( )$$

$$h= sqrt(l^2-e^2)= sqrt((255 m)^2 - (250 m)^2)$$

$$h approx 50,25$$ $$m$$