Como calcular a razão de uma PG com fração

Progressão geométrica é uma sequência numérica em que os termos, a partir do segundo, são obtidos pelo produto de razão geométrica (q) com o termo anterior.

Dessa forma, a PG pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante, dependendo se a razão geométrica.

Em uma PG crescente, os números sequenciais são sempre maiores do que o número anterior, sendo a razão geométrica e o primeiro termo sempre maiores do que zero (q>0 e a1>0). Ex.: PG(2,6,18,54,162,…)(q=3).

Por outro lado, a PG decrescente tem os números sequenciais menores do que o número anterior, sendo a razão geométrica sempre maior do que zero (q>0). Ex.: PG(-2,-6,-18,-54,-162,…)(q=3) ou PG(100, 50, 25,…)(q=0,5).

Já na PG oscilante, a sequência é composta por números intercalados entre positivos e negativos, sendo a razão geométrica sempre menor do que zero (q<0). Ex.: PG(-2,+6,-18,+54,-162,…)(q=-3).

Por último, na PG constante todos os termos da sequências são iguais, sendo a razão geométrica sempre igual a um (q=1). Ex.: PG(3,3,3,3,3,…)(q=1)

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Fórmula da Razão da PG

A chamada razão da PG é uma constante representada geralmente pela letra ‘q’. É a partir da razão da PG que será determinado todos os termos, portanto ela é parte fundamental da PG.
A razão da pg (q), também conhecida como razão geométrica, é calculada fazendo a divisão de qualquer termo, exceto o 1º termo, pelo termo anterior. A fórmula da razão da PG é:

Encontre a razão geométrica da seguinte PG( 2, 6, 18, 54 ).Utilizando a fórmula da razão da PG, vou calcular de 3 formas. Observem que o resultado é sempre o mesmo.

Assim mostramos que a razão dessa PG é 3 e que não importa qual termo escolhemos, desde que não seja o 1º. Se for feita a divisão com o termo anterior a ele, o resultado será sempre o mesmo. Portanto a razão da PG é uma constante.

Fórmula Progressão Geométrica

A progressão geométrica possui diversas fórmulas, sendo que as principais estão representadas abaixo:

Em que,

­an: N ésimo termo da PG (termo qualquer da PG – o termo que quer encontrar);
ak: K ésimo termo da PG (termo qualquer da PG – você deve conhecer o valor desse termo);
q(n-k): razão da PG elevada a diferença de n-k.

Soma dos Termos da PG

Soma de todos os termos da PG

A fórmula a seguir nos retorna como resposta a soma de todos os termos da PG.

Soma dos termos em um intervalo da PG

A fórmula seguinte nos retorna como resposta a soma dos termos em um intervalo de ‘r’ a ‘t’.

Soma dos termos de uma PG decrescente e infinita

Para uma PG ser decrescente a razão geométrica tem que estar no intervalo: 0 < q < 1, ou seja, maior do que 0 e menor do que 1. Sabendo que a PG é infinita e decrescente, então o último termo an será zero. A fórmula da soma dos termos de um PG infinita e decrescente é:

Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...)

No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:

2 . 2 = 4 4 . 2 = 8 8 . 2 = 16 16 . 2 = 32 32 . 2 = 64 64 . 2 = 128

128 . 2 = 256

Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).

Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

PG Crescente

Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, por exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3

PG Decrescente

Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada por números decrescentes.

Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:

(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3

PG Oscilante

Na PG oscilante, a razão é negativa (q

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -2

PG Constante

Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1

Fórmula do Termo Geral

Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:

an = a1 . q(n-1)

Onde:

an: número que queremos obter
a1: o primeiro número da sequência
q(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,...)

a20 = 2 . 2(20-1)
a20 = 2 . 219
a20 = 1048576

Saiba mais sobre PA e PG e Progressão Aritmética - Exercícios.

Soma dos Termos da PG

Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:

onde:

Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG

Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32,...):

Estude mais com Exercícios sobre PA e PG.

Curiosidade

Como na PG, a Progressão Aritmética (PA), corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é constante. A diferença é que enquanto na PG o número é multiplicado pela razão, na PA o número é somado.