A equação geral da reta é estudada na geometria analítica, que busca traduzir, por meio de uma equação, o comportamento de algumas figuras geométricas quando representadas no plano cartesiano, entre elas a reta. A equação geral da reta é uma maneira de descrever o comportamento da reta de forma algébrica. Show
Para encontrar a equação geral da reta, conhecendo dois pontos da reta, calculamos o determinante da matriz que tem como linha as coordenadas desses pontos e igualamos a zero. Ao calcular esse determinante, encontramos a equação geral da reta. O gráfico de uma reta, quando representado no plano cartesiano, pode ser crescente ou decrescente. A equação geral da reta é: ax + by + c = 0. Leia também: Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano Resumo sobre a equação geral da reta
\(\left|\begin{matrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|\ =\ 0\ \) Afinal, qual é a equação geral da reta?A equação geral da reta é a que descreve, de forma algébrica, o comportamento da reta quando ela é representada no plano cartesiano. Dado os pontos (x, y), esses pontos pertencem à reta se respeitarem a equação geral da reta: \(ax\ +\ by\ +\ c\ =\ 0\) Exemplos:
Conhecendo as coordenadas de dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) pertencentes à reta, podemos então encontrar a equação geral da reta calculando o determinante: \(\left|\begin{matrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|=0\ \) Exemplo 1: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(2, 4) e B(3, 7). Resolução: Calculando o determinante e igualando ele a zero, temos que: \(\left|\begin{matrix}2&4&1\\3&7&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|=0\) \(2\cdot7\cdot1+4\cdot1\cdot x+1\cdot3\cdot y-1\cdot7\cdot x-2\cdot1\cdot y-4\cdot3\cdot1=0\) \(14+4x+3y-7x-2y-12=0\) Então a equação geral da reta é: \(-3x+y+2=0\) Exemplo 2: Analise a reta apresentada no plano cartesiano a seguir: Encontre a equação da reta r. Resolução: Analisando o gráfico, podemos destacar os pontos A(2, 1) e B(5, 4). Então calcularemos o determinante igualado a zero: \(\left|\begin{matrix}2&1&1\\5&4&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|=0\) \(2\cdot4\cdot1+1\cdot1\cdot x+1\cdot5\cdot y-1\cdot4\cdot x-2\cdot1\cdot y-1\cdot5\cdot1=0\) \(8+x+5y-4x-2y-5=0\) \(-3x+3y+3=0\) Note que todos os termos são múltiplos de 3, logo, podemos dividir todos os elementos por 3, encontrando a equação geral da reta: \(-x+y+1=0\) Gráfico da equação geral da retaPara encontrar o gráfico da equação de determinada reta, é necessário encontrar dois pontos. Ao marcar os dois pontos no plano cartesiano, pode-se fazer o esboço do gráfico da equação traçando a reta que passa por esses dois pontos. Vejamos um exemplo a seguir. Exemplo: Construa o gráfico da reta que tem equação geral 2x + y – 1 = 0. Resolução: Conhecendo a equação da reta, para representá-la no gráfico, basta encontrarmos dois pontos pertencentes a essa equação. Atribuiremos um valor numérico qualquer para x e encontraremos o seu correspondente em y. Seja x = 1, temos que: \(2x+y\ –1=0 \) \(2\cdot1+y-1=0\ \) \(2+y-1=0\) \(y+1=0\ \) \(y=-1\) Então sabemos que o ponto A(1, -1) pertence à reta. Agora, vamos atribuir outro valor qualquer para o x e encontrar um segundo ponto pertencente à reta. Seja x = 0, temos que: \(2x+y\ –1=0 \) \(2\cdot0+y\ –1=0 \) \(y\ –1=0 \) \(y=1\ \) Desse modo, o ponto B(0, 1) também pertence à reta. Agora, marcaremos esses dois pontos no plano cartesiano e traçaremos a reta que passa por eles. Exercícios resolvidos sobre a equação geral da retaQuestão 1 A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 1) e B(4, 7) é: A) 3x + 2y – 5 = 0 B) x + 2y – 10 = 0 C) 6x + y + 10 = 0 D) -3x + y + 5 = 0 E) 3x – y – 5 = 0 Resolução: Alternativa D Dados os pontos A e B, calcularemos o determinante, e, igualando-o a zero, temos que: \(\left|\begin{matrix}2&1&1\\4&7&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|\ =\ 0\) \(2\cdot7\cdot1+1\cdot1\cdot x+1\cdot4\cdot y-1\cdot7\cdot x-2\cdot1\cdot y-1\cdot4\cdot1=0\) \(14+x+4y-7x-2y-4=0\) \(-6x+2y+10=0\) Note que todos os termos são múltiplos de 2, dividindo toda a equação por 2, temos que: \(-3x+y+5=0\) Questão 2 Analise a equação geral da reta \(4x+y-5=0\). São pontos pertencente à reta: A) (2, 0) B) (3, -3) C) (1, -1) D) (-1, 9) E) (0, -5) Resolução: Alternativa D Para verificar se o ponto pertence à equação, vamos substituir o valor de x e de y e verificar se a equação é verdadeira: A) (falsa) \(2\cdot2+0-5=4-5=-1\) B) (falsa) \(4\cdot3+3-5=12-2=10\) C) (falsa) \(4\cdot1-1-5=0-5=-5\) D) (verdadeira) \(4\cdot\left(-1\right)+9-5=-4+9-5=0\) E) (falsa) \(4\cdot0-5-5=0-5-5=-10\) A equação reduzida da reta é a maneira de representar de forma algébrica a reta, sendo possível obter, por meio do estudo da geometria analítica, informações importantes sobre o comportamento da reta quando representada no plano cartesiano. A equação reduzida da reta é a equação y = mx + n, em que m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear, e x e y são, respectivamente, a variável independente e dependente. Por meio do valor do coeficiente angular, é possível saber se a reta é crescente, decrescente ou constante. Já o coeficiente linear mostra o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical y. Leia também: Elipse — figura muito estudada na geometria plana e na analítica Qual é a equação reduzida da reta?Equação reduzida da reta.No estudo da geometria analítica, é bastante recorrente a representação de figuras geométricas por meio de uma equação. Com a reta não é diferente, e a equação reduzida que descreve a reta é a seguinte: m → coeficiente angular n → coeficiente linear y → variável dependente x → variável independente Vale salientar que m e n são números reais. Exemplos: a) y = 2x – 4 b) y = – 3x + 5 A equação da reta nos dá a coleção de pontos que formam a reta no plano cartesiano, sendo possível analisar o gráfico por meio da equação e fazer a sua representação no plano cartesiano. Para entender como encontrar a equação da reta, vamos antes conhecer o significado de cada um dos seus coeficientes e aprender a encontrá-los. O coeficiente angular está ligado à inclinação da reta e o cálculo desse coeficiente pode ser feito de duas maneiras:
O primeiro método é calcular a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x no sentido anti-horário. Conhecendo o valor do ângulo α, temos que: Exemplo: Encontre o coeficiente angular da reta a seguir: Como o ângulo é de 45º, então basta calcular a tangente de 45º. m = tg 45º m = 1 Mais recorrente que o primeiro caso, no segundo caso encontramos o coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos A(x1,y1) e B (x2, y2). Para isso, utilizamos a fórmula a seguir: Coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos.Exemplo: Encontre o coeficiente angular da reta utilizando os pontos A e B do gráfico a seguir: Ao analisar a malha quadriculada, é fácil ver que as coordenadas são A(1,1) e B( – 1, 3). Usando esses dois pontos, temos que: O coeficiente angular traz informações importantes sobre o gráfico da reta. Podemos classificar essa reta como crescente, decrescente ou constante de acordo com o valor do coeficiente angular. As retas são crescentes, decrescentes e constantes respectivamente.Exemplos:
Veja também: Qual é a equação geral da circunferência? Coeficiente linearNa equação reduzida y = mx + n, conhecemos o n como coeficiente linear. Quando x = 0, o valor de y = n; sendo assim, o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Passo a passo de como calcular a equação reduzida da retaPara calcular a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor do coeficiente angular e do coeficiente linear. Para isso, precisamos conhecer dois pontos pertencentes à reta. Veja o passo a passo para encontrar a equação da reta.
Exemplo: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,1) e B (4,7). Primeiro encontramos o coeficiente angular: Agora que encontramos o coeficiente angular, escolhemos um ponto: por exemplo, o ponto A (2,1). Na equação y = mx + n, vamos substituir os valores do ponto A, ou seja, x = 2 e y = 1, e também o valor encontrado para m, no caso m= 3. y = mx + n 1 = 3 · 2 + n 1 = 6 + n 1 – 6 = n n = – 5 Como conhecemos o valor de m e de n, então a equação reduzida da reta será: y = mx + n y = 3x + ( – 5) Representação gráfica da retaPara construir o gráfico da reta conhecendo a sua equação, encontramos dois pontos pertencentes a essa reta e traçamos a reta que passa por esses dois pontos. Exemplo: Encontre o gráfico da reta y = 2x – 1. Analisando a reta, o primeiro ponto, que é o mais fácil de identificar, é A ( 0, – 1), pois sabemos que o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Se substituirmos na equação x = 0, encontramos y = – 1. Agora precisamos de outro ponto qualquer. Para isso, atribuímos um valor para x e encontramos o seu correspondente em y. Por exemplo, escolhendo x = 1, temos que: y = 2x – 1 x = 1 y = 2 ·1 – 1 y = 2 – 1 y = 1 O ponto B (1, 1) pertence à reta, então marcamos os pontos A(0, –1) e B (1,1) no plano cartesiano e traçamos a reta que passa por esses dois pontos. Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço? Exercícios resolvidosQuestão 1 - Analisando as equações, marque a alternativa correta: I → y = – 2x + 5 II → y = – 2 + 3x III → y = 5 As retas são, respectivamente: A) crescente, decrescente e constante. B) decrescente, decrescente e constante. C) crescente, decrescente e crescente. D) decrescente, crescente e crescente. E) decrescente, crescente e constante. Resolução Alternativa E. I → m = – 2. Como ele é negativo, a reta é decrescente. II → m = 3. Como ele é positivo, a reta é crescente. III → m = 0. Note que x não aparece, logo m = 0, então a reta é constante. Questão 2 - Dada a reta que passa pelos pontos A(-1, 2) e B (2,3), o seu coeficiente angular é igual a: Resolução Alternativa D. |