Os triângulos são polígonos formados por três lados. Dentro do conjunto de todos os polígonos, os triângulos são os mais simples, por apresentarem menos lados, mas possuem propriedades e características complexas. Uma delas se refere à soma de seus ângulos internos, que é sempre igual a 180º, independentemente do formato do triângulo, de seu tamanho ou de qualquer outra característica. Sendo assim, um triângulo ABC, com ângulos internos a, b e c, possui a seguinte propriedade: a + b + c = 180 Essa propriedade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos é igual a 180°, mas é usada para descobrir a medida de um dos ângulos do triângulo quando se conhece as medidas dos outros dois. Exemplos 1º exemplo – Qual é a medida do ângulo α na figura a seguir? Solução: Sabendo que os ângulos internos de um triângulo totalizam 180°, podemos escrever: α + 50 + 50 = 180 α = 180 – 50 – 50 α = 80° 2º exemplo – Calcule o valor de x no triângulo a seguir. Solução: Como já sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Portanto, podemos escrever: 2x + 3x + 4x = 180 9x = 180 x = 180 x = 20 Demonstração O procedimento usado para mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180° será feito a seguir em etapas e baseia-se em outro conhecimento: dos ângulos formados em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal. Para compreender bem a demonstração, lembre-se: ângulos alternos internos são congruentes. Além disso, lembre-se também de que as semirretas que definem um ângulo raso (de 180°) formam uma reta. Isso significa que qualquer ângulo observado sobre uma reta terá essa medida. Etapa 1: Desenhar um triângulo ABC cuja base é BC. Observe apenas que esse triângulo é aleatório, pode ser qualquer triângulo, e que a base também pode ser AC ou BA que o resultado obtido será o mesmo. Etapa 2: Sobre o vértice A, trace a reta paralela ao lado BC, como mostra o exemplo a seguir: Etapa 3: Colocar sobre esse desenho os ângulos internos α, β e γ do triângulo e os ângulos θ e λ que foram formados no processo: Etapa 4: Observe que os ângulos θ e β são alternos internos. Isso significa que são congruentes. O mesmo acontece com γ e λ, que também são alternos internos. Logo, podemos trocar θ por β e λ por γ na imagem. Assim, obteremos o esquema ilustrado pela imagem a seguir. Etapa 5: Observar que a soma dos ângulos realmente é 180°. Para isso, note que os ângulos na figura a seguir, que foram circulados, ao mesmo tempo, têm a mesma medida dos ângulos internos do triângulo e os três juntos formam um ângulo raso, portanto: α + β + γ = 180°
01) Num triângulo, um dos ângulos mede 27° e o outro mede 64°. O terceiro ângulo interno mede: (A) 69° (B) 79° (C) 89° (D) 99° Resposta: C 02) Os ângulos de um triângulo medem 3x, 4x e 5x. O menor desses ângulos mede: (A) 15° (B) 18° (C) 30° (D) 45°Resposta: D 03) Num triângulo, um ângulo mede o dobro do outro e o terceiro, 30°. O maior deles mede: (A) 50° (B) 70° (C) 100° (D) 140°Resposta: C 04) Na figura abaixo, o valor de x é:(A) 10° (B) 12° (C) 14° (D) 16° Resposta: D 05) Na figura abaixo, o valor de x é:(A) 15° (B) 20° (C) 25° (D) 30° Resposta: A 06) sabemos que se trata de um triângulo qualquer. Então, podemos afirmar que:(A) x = 30° (B) x = 40° (C) x = 10° (D) x = 20° Resposta: A 07) Na figura abaixo, o valor de x é:(A) 100° (B) 130° (C) 140° (D) 150° Resposta: D 08) Na figura abaixo, o valor de x é:(A) 10° (B) 15° (C) 20° (D) 25° Resposta: C PARA SABER MAIS SOBRE SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS ACESSE OS LINKS ABAIXO E ASSISTA OS VÍDEOS: https://youtu.be/nOyaAYui7Pw https://youtu.be/-Sd8KBYKP5o Page 2
Na geometria plana, os triângulos são polígonos formados por 3 lados e considerados uma das figuras geométricas mais simples. Apesar disso, mesmo possuindo o menor número de lados possível para um polígono, o triângulo possui propriedades e características muito complexas e bastante utilizadas pela matemática. Antes de tudo, é preciso saber que um ângulo, por possuir três lados, possui três ângulos internos cuja soma é sempre, não importando o tamanho do triângulo, igual a 180°. Sendo assim, se considerarmos o triângulo XYZ, cujos ângulos internos são x, y e z, teremos que: x+ y + z = 180° Exemplo: Qual o valor do ângulo x? Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, precisamos somar os ângulos cedidos pelo exemplo e igualar a esse valor. 60 + 60 + X = 180 120 + X = 180 X = 60° Já o teorema da soma dos ângulos externos de um triângulo diz que a soma de um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele, ou seja, não vizinhos. Sendo a, b e c os ângulos internos do triângulo ABC e d o ângulo externo, o valor de d é igual à soma de a e b, uma vez que c é o seu ângulo interno adjacente. Exemplo: Sabendo que o valor de ? é igual à soma dos seus dois ângulos internos, obtemos que: ? = 60 + 40 Exercícios resolvidos com gabarito:1) Encontre o valor do ângulo X. Resolução: Uma vez que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, temos que: 90 + 30 + X = 180 120 + X = 180 X = 180 – 120 X = 60° 2) Encontre o valor do ângulo X, Y e Z. Resolução: Em um primeiro momento, percebemos que o ângulo X e o de 75° formam, juntos, um ângulo raso que equivale a 180°. Desse modo: X + 75 = 180 X = 180 – 75 X = 105° O ângulo Y e o de 120°, assim como os outros dois acima somados formam um ângulo de 180°. Y + 120 = 180 Y = 180 – 120 Y = 60° Agora que conhecemos X e Y podemos realizar a soma dos ângulos internos, que equivale a 180°, a fim de descobrir o valor da incógnita Z. X + Y + Z = 180 105 + 60 + Z = 180 Z = 180 – 165 Z = 15° Veja mais: Simulados de ângulos com gabarito. |