Em um experimento lançar o dado qual é a probabilidade de obtermos um número múltiplo de 3

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Atividade Estruturada 3 1) 1.1 Os experimentos aleatórios constituem situações onde os acontecimentos possuem variabilidade de ocorrência, isto é, o mesmo experimento pode ter diferentes resultados. Ex.: no lançamento de um dado podemos obter seis resultados aleatórios. No sorteio de um número entre 1 e 100, não teremos a certeza de qual número será sorteado, podemos ter várias ocorrências de resultados. Essas variações de resultados dentro de uma mesma situação caracterizam os experimentos aleatórios. 1.2 O espaço amostral consiste nos possíveis resultados do experimento. No caso do lançamento de um dado, o espaço amostral é igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6, no lançamento de uma moeda podemos ter os seguintes espaços amostrais: cara, coroa. É com base no espaço amostral que conseguimos calcular as probabilidades de um fenômeno. 1.3 A probabilidade consiste num ramo da Matemática que estuda as possibilidades de um fenômeno ocorrer. Possui aplicações em algumas áreas do conhecimento humano, como Genética, Finanças, Marketing, Economia. 2) 2.1: Experimento Aleatório Espaços Amostrais Lançamento de um dado {1, 2, 3, 4, 5, 6} Pesquisa de satisfação {''regular'', ''bom'', ''ótimo''...} Risco econômico de Crédito {''baixo'', ''médio'', ''alto''} 2.2 Eventos Complementares Exemplo 1: No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de não sair o número 6. Probabilidade de não sair o número 6 = 1/6 1- (1/6) → 6-1/6 = 5/6 A probabilidade de não sair o 6 é de 5/6 (83%). Exemplo 2: No lançamento simultâneo de dois dados, vamos determinar a probabilidade de não sair soma 4. No lançamento de dois dados temos o espaço amostral de 36 elementos. Considerando os eventos em que a soma seja quatro, temos: {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}. Probabilidade de sair soma quatro é igual a: 3 em 36, que corresponde a 3/36 = 1/12. Para determinarmos a probabilidade de não sair soma quatro realizamos o seguinte cálculo: P= 1 – (1/12) → 12-1/12 = 11/12 Na expressão, temos que o valor 1 refere-se ao espaço amostral (100%). Temos que a probabilidade de não sair soma quatro no lançamento de dois dados é de 11/12 (91%). Eventos mutuamente exclusivos Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um, exclui a realização do(s) outro(s). Exemplo: Ao lançar um dado, qual a probabilidade de sair 1 ou 3? P= Pa +Pb P= 1/6 + 1/6 = 2/6 P= 1/3 A probabilidade de sair 1 ou 3 é de 33% Exemplo 2: Exemplo: uma urna contém 20 bolas idênticas numeradas de 1 a 20. Extraindo-se uma bola ao acaso dessa urna, qual a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou 3? Consideramos os seguintes eventos: A → o número múltiplo de 2: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 10/20 B → o número múltiplo de 3: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} B = {3, 6, 12, 15, 18} 5/20 5/20 + 10/20 = 15/20 A chance de ser múltiplo de 2 ou 3 é de 75% Propriedade da probabilidade da união de eventos Numa caixa existem 10 fichas numeradas de 1 a 10. Retirando uma ficha ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3? - Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10 (5/10) Múltiplos de 3: 3, 6, 9 (3/10) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 5/10 + 3/10 – 1/10 = 7/10 (70%) Propriedade da probabilidade condicional Lançando uma moeda e um dado, determine a probabilidade de obtermos juntos o resultado 'cara' na moeda e o número 4 no dado Espaço Amostral do Dado: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 eventos Espaço Amostral da Moeda: {cara; coroa} = 2 eventos Total de Eventos = 12 A probabilidade de obter o resultado (cara, 4) é de 1/12, ou seja, 8,3% aproximadamente Regra do produto para eventos dependentes Sabe-se que dentro de uma urna existem 12 bolas. Sendo 5 rosas, 4 roxas e 3 verdes. Se forem retiradas duas bolas, sem reposição, determine as probabilidades de ambas serem verdes. P (V1ÇP2) = p(V1)p(v2/v1) → 3x2/12x11 = 6/22 A probabilidade de ambas serem verdes é de aproximadamente 27% Regra do produto para eventos independentes Qual a probabilidade de em dois lançamentos de um dado, se obter número impar no primeiro e número par no segundo? Impar: 1, 3, 5 → 3/6 Par: 2, 4, 6 → 3/6 p(AÇB) = p(A).p(B) = 3/6 . 3/6 = 1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%.

Probabilidade - Conceito de Probabilidade

Experimento Aleatório

Quando estudamos Probabilidade, chamamos qualquer experiência ou ensaio cujo resultado não pode ser previsto de experimento aleatório. Por exemplo, lançar um dado e observar o número da face voltada para cima.

Chama-se de espaço amostral o conjunto formado por todos os resultados possíveis na realização de um experimento aleatório.

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Um exemplo de um evento é obter cara (ou coroa) no lançamento de uma moeda.

A probabilidade de um evento é definida como:

onde n(A) é o número de possibilidades de ocorrência do evento A e n(W) é o número de elementos do conjunto W (espaço amostral).

Exemplo

No lançamento de um dado qual é a probabilidade de sair um número par?

Num dado, há três possibilidades de número par: 2, 4, 6.

Portanto, A = (2, 4, 6)

Um dado contém 6 números. Portanto, o número de elementos do conjunto W (espaço amostral) é 6:

W=(1, 2, 3, 4, 5, 6)

Note que 

Probabilidade de eventos independentes

Dois eventos, A e B, são chamados de independentes quando a ocorrência de um evento não tem qualquer efeito sobre o outro. Por exemplo, se lançarmos um dado duas vezes, a probabilidade de sair o número 4 no primeiro lance é 1/6. A probabilidade de sair o número 5 no segundo lance também é 1/6. O resultado do primeiro lance não afeta o resultado do segundo. Os dois lances – esses dois eventos – são independentes.

Se dois eventos, A e B, são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto da probabilidade individual de cada um.

Isto é: P (A e B) = P(A) x P (B).

Exemplo

Um único dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de sair o número 5 em ambos os lances?

Resposta

A probabilidade que saia o número 5 no primeiro lance é 1/6. Este resultado não afeta o resultado do segundo lance, pois são eventos independentes. A probabilidade que saia o número 5 no segundo lance também é 1/6. Portanto, a probabilidade que saia dois 5s consecutivos é: 1/6 x 1/6 = 1/36.

Probabilidade de eventos exclusivos

Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente: P (A e B) = 0.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos (A ou B), a probabilidade que A ou B ocorra é definida como a soma de suas probabilidades.

Isto é: P(A ou B)= P(A)+P(B).

Exemplos

Se um dado é lançado uma só vez, qual a probabilidade que saia 5 ou 6?

Resposta

Toda vez que se lança um dado, sai apenas um número. Não é possível que num único lance saia dois números simultaneamente. Neste exemplo, os dois eventos (sair 5 e sair 6) são mutuamente exclusivos. A probabilidade que saia 5 é 1/6. A probabilidade que saia 6 também é 1/6. A probabilidade que saia 5 ou 6 é: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Dois eventos, A e B, são inclusivos quando é possível que ocorra A, B ou ambos. Se dois eventos, A e B, são inclusivos, a probabilidade que ocorra A ou B é a soma de suas probabilidades menos a probabilidade que ambos ocorram.

Isto é: P (A ou B ou ambos) = P(A) + P (B) – P (A e B)

Exemplo

Se um dado é lançado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou um número maior que 3?

Resposta

Quando um dado é lançado, é possível que saia um número par e é possível que saia um número maior que 3. Mas é também possível que saia um número que seja par e acima de 3. Por exemplo, o número 4 é par e maior que o número 3.

A probabilidade de se obter um número par é 1/2 (há 3 números pares e 3 números impares).

A probabilidade de se obter um número acima de 3 é 1/2, pois há 3 possibilidades: os números 4, 5 ou 6.

A probabilidade de se obter um número que é par e acima de 3 é 1/3, já que há duas de seis possibilidades: 4 e 6. (O número 5 não é par e os outros números são menores que 3).

Portanto, a probabilidade de se obter um número que seja par ou acima de 3 é:

P(número par ou acima de 3 ou ambos): 1/2 +1/2 - 1/3 = 2/3.

Probabilidade Condicional

Agora considere dois eventos, A e B, e a probabilidade de ocorrer o evento B é afetada pela ocorrência do evento A. Neste caso, ocorre probabilidade condicional.

A probabilidade condicional de que o evento B ocorra se o evento A ocorrer, é definida da seguinte forma:

Exemplo

Uma confeitaria produziu 160 sobremesas. 80 dessas sobremesas contêm chocolate, 60 contêm chantili e 20 contêm ambos. Se uma sobremesa for selecionada randomicamente, qual é a probabilidade de ela conter chocolate? Qual é a probabilidade de a sobremesa conter chocolate e chantili sendo que ela já contém chantili?

Resposta

A probabilidade de a sobremesa conter chocolate é:

P(chocolate) = 100/160 = 5/8

O fato de a sobremesa já conter chantili reduz o espaço amostral para 60 (há 60 sobremesas que contêm chantili). Neste grupo, há 20 sobremesas que contêm chocolate e chantili; portanto, a probabilidade de que seja selecionada uma sobremesa que contenha esses dois ingredientes é 20/60 = 1/3.

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