Como se faz soma de raiz quadrada

Ao trabalhar com radicais, podemos aplicar todas as propriedades básicas da álgebra: tanto a multiplicação e a divisão quanto a adição e a subtração. Veremos agora como determinar a soma e a diferença de raízes.

O primeiro e mais importante detalhe que deve ser observado é que só podemos realizar a adição e a subtração de radicais que apresentam índices e radicandos iguais. Dizemos que esses são radicais semelhantes. Observe alguns exemplos de radicais semelhantes com os quais podemos operar a adição e a subtração:

Para efetuar a adição e a subtração de radicais, podemos utilizar uma conhecida técnica de fatoração: o fator comum. Nesse caso, teremos em comum o radical, que colocaremos em evidência para que possamos então somar ou subtrair seus coeficientes (números que acompanham os radicais). Vejamos alguns exemplos:

a) 

Como dito acima, operaremos apenas os coeficientes: – 2 + 1 – 3 = – 4.

b) 

Subtrairemos os coeficientes 3 e – ½ para determinar a diferença dos radicais:

c) 

Operaremos os coeficientes fracionários:

d) 

Como já vimos, só podemos somar ou subtrair radicais de mesmo radicando e mesmo índice. Por essa razão, vamos organizar a expressão, colocando em evidência cada radical semelhante:

e) 

Reorganizaremos também a expressão, agrupando radicais semelhantes e operando seus respectivos coeficientes:

A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Leia também: Propriedades envolvendo números complexos

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice

Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112  = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

Observações:

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Mapa Mental: Raiz Quadrada

*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui!

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.

Exercícios resolvidos

1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100.

Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100

2. Determine a raiz quadrada do número 1024.

√1024

Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos:

1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22

Então,

 Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas.

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Você pode realizar todas as operações matemáticas já conhecidas com raízes quadradas, inclusive soma, subtração, divisão e multiplicação. No entanto, uma vez que o radical sobre o número representa uma operação matemática já presente, as regras para somar raízes quadradas são um pouco diferentes daquelas a serem usadas com números inteiros. Para somar raízes quadradas, você deve antes entender como simplificá-las.

1. 1

   Fatore cada radicando em números primos.[1] X Fonte de pesquisa Ir à fonte Uma forma simples de fatorar um número é criar uma árvore de fatores. Leia o artigo "Como Fazer uma Árvore de Fatores" para aprender mais.

   • O radicando é o número que fica sob o radical.
   • Um número primo é aquele que pode apenas ser dividido por
     
     e por si mesmo,[2] X Fonte de pesquisa Ir à fonte como
     
     ,
     
     ,
     
     ,
     
     ,
     
     etc.
   • Você não precisa fatorar os coeficientes — o coeficiente é o número que fica à frente do radical.
   • Digamos, por exemplo, que você queira somar
     
     . Para isso, é necessário fatorar
     
     como
     
     . Você também precisa fatorar
     
     como
     
     .
   • Se o radicando já é um número primo, ele não precisa ser fatorado. Por exemplo, uma vez que e são primos,
     
     e
     
     não requerem fatoração.

2. 2

   Reescreva a expressão. Mantenha todos os fatores sob o radical.

   • Por exemplo, depois de fatorar os radicandos, a expressão exemplificada ficaria expressa como
     
     .

3. 3

   Circule pares de fatores semelhantes sob cada radical. Como você deseje encontrar uma raiz quadrada, é possível simplificar a expressão unindo fatores relacionados.

   • Por exemplo,
     
     tem um par de números , então circule ambos. Da mesma forma,
     
     apresenta um par de números , que também podem ser circulados.

4. 4

   Fatore os coeficientes identificando os fatores emparelhados sob cada radical. A raiz quadrada de qualquer par de fatores será igual ao fator, uma vez que

   
   e
   
   . Coloque o número à frente do radical. Se a expressão já possui coeficiente, multiplique os dois valores.[3] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
   • Por exemplo:
     • 
       
       Desse modo,
       
       pode ser simplificado em
       
       .
     • 
       
       Assim, observa-se que
       
       pode ser simplificado em
       
       .

5. 5

   Reescreva o problema usando termos simplificados. Isso deixará o processo de soma muito mais fácil.

   • Por exemplo:
     • pode ser simplificado em
       
       
       .

1. 1

   Coloque um número um à frente de qualquer raiz quadrada sem coeficiente. O , por ser sempre subentendido, é raramente expresso de forma explícita. No entanto, em somas, escrevê-lo pode ajudar a acompanhar os coeficientes.

   • O coeficiente é o número à frente do radical.
   • Por exemplo, escreva como
     
     .

2. 2

   Veja se há raízes quadradas com o mesmo radicando. Você só poderá somar raízes quadradas que possuem radicandos iguais.

   • O radicando é o número que fica sob o radical.
   • Por exemplo, é possível somar os primeiros três termos na expressão porque todos eles têm o mesmo radicando ().

3. 3

   Some os coeficientes. Faça-o somente com os termos que possuem o mesmo radicando, mas não some os radicandos.

4. 4

   Acrescente quaisquer radicandos incompatíveis presentes na expressão. Como eles não podem ser simplificados, não é possível somá-los a outros termos. O resultado será a sua resposta final e simplificada.

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