A soma e a diferença entre -7 e 5 valem, respectivamente

Avaliação: » CÁLCULO NUMÉRICO Tipo de Avaliação: AV1 Aluno: Professor: JULIO CESAR JOSE RODRIGUES JUNIOR Turma: Nota da Prova: 6,0 de 8,0 Nota do Trab.: 0 Nota de Partic.: 2 Data: 22/04/2015 1a Questão (Ref.: 201301869337) Pontos: 0,5 / 0,5 Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R 2 . Para que w = 3u - v, devemos ter x + y igual a: 6 18 2 0 12 2a Questão (Ref.: 201301963599) Pontos: 0,0 / 0,5 As matrizes A, B e C são do tipo m x 3, n x p e 4 x r, respectivamente. Se a matriz transposta de (ABC) é do tipo 5 x 4, então m + n + p + r é 17 nada pode ser afirmado 15 18 16 3a Questão (Ref.: 201301869339) Pontos: 0,5 / 0,5 Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente: 0,030 e 1,9% 0,030 e 3,0% 0,020 e 2,0% 2.10 -2 e 1,9% 3.10 -2 e 3,0% 4a Questão (Ref.: 201301872152) Pontos: 0,0 / 0,5 Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. É correto afirmar que: apenas II é verdadeira apenas III é verdadeira todas são verdadeiras apenas I é verdadeira todas são falsas 5a Questão (Ref.: 201301957730) Pontos: 1,0 / 1,0 Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja satisfeito. Pode ser um critério de parada, considerando ε a precisão: O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε A soma de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε O produto de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε A soma de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε 6a Questão (Ref.: 201301869462) Pontos: 1,0 / 1,0 Suponha a equação 3x 3 - 5x 2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação. 0,687 0,625 0,500 0,750 0,715 7a Questão (Ref.: 201301827401) Pontos: 1,0 / 1,0 A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método das Secantes. Assim, considerando-se como pontos iniciais x0 = 4 e x1= 2,4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o valor: 2,43 2,23 1,83 2,63 2,03 8a Questão (Ref.: 201301827397) Pontos: 1,0 / 1,0 A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor: 3,2 2,4 0,8 0 1,6 9a Questão (Ref.: 201301987199) Pontos: 0,0 / 1,0 A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: Consistem em uma sequência de soluções aproximadas Apresentam um valor arbitrário inicial. Sempre são convergentes. Existem critérios que mostram se há convergência ou não. As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 10a Questão (Ref.: 201301869377) Pontos: 1,0 / 1,0 No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. não há diferença em relação às respostas encontradas. no método direto o número de iterações é um fator limitante. o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema.

situa ções exploradas utilizam o teorema de Pitágoras, que já é de conhecimento dos alunos. Os triângulos retângulos representados a seguir têm hipotenusa a e catetos b e c. A figura a seguir é uma imagem que traduz o teorema de Pitágoras, enunciado da se- guinte forma: “O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Em qualquer figura, a área do quadra- do de lado a é igual à soma das áreas dos dois quadrados formados, respectivamente, sobre os catetos b e c. 17. Na 7a serie/8o ano, você estu- dou o teorema de Pitágoras. C c A a B b 75 Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2 a) Escreva a expressão algébrica do teore- ma para o triângulo retângulo ABC. a2 = b2 + c2 b) Qual é a relação entre as áreas dos qua- drados representados na figura? Nessa figura, a área do quadrado de lado a é igual à soma das áreas dos dois quadrados formados, respectivamente, sobre os catetos b e c. Podemos explorar essa relação em outras figuras além do quadrado. 18. Na figura a seguir, os círculos foram cons- truídos sobre os lados de um triângulo re- tângulo. Verifique se, analogamente ao que ocorre no teorema de Pitágoras, a área do círculo construído sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas dos círculos sobre os cate- tos. (Medidas: a = 5 cm; b = 3 cm; c = 4 cm.) C c A a B b A área do círculo correspondente à hipotenusa é Ca = / u ൭ a 2 ൱ 2 = / u 52 4 = 25/ 4 . As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, res- pectivamente, Cb = π u b2 4 = 9/ 4 e Cc = π u c2 4 = 16/ 4 . Somando-se as áreas obtidas, temos: Cb + Cc = 9/ 4 + 16/ 4 = 25/ 4 . Portanto, Cb + Cc = Ca. A área do círculo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos círculos construídos sobre os catetos, o que está de acordo com o teorema de Pitágoras. Dessa forma, verificamos que o teorema de Pitágoras vale não apenas para os quadrados formados sobre os lados de um triângulo re- tângulo, mas também para círculos de diâme- tro igual a esses lados. 19. Verifique se essa relação entre as áreas vale também para as figuras a seguir: a) Região complementar do quadrado em relação ao semicírculo. (Medidas: a = 10 cm; b = 6 cm; c = 8 cm.) C c A a B b A área da figura colorida é a diferença entre a área do quadrado de lado igual ao lado do triângulo e o semicírculo de diâmetro igual a esse lado. Assim, a área da figura relativa à hipotenusa é Aa = a 2 – 1 2 u / u ൭ a 2 ൱ 2 = 102 – / u 102 8 = 100 – 25/ 2 . 76 As áreas das figuras relativas aos catetos b e c valem, respec- tivamente, Ab = 6 2 – 1 2 u / u ൭ 6 2 ൱ 2 = 36 – 9/ 2 Ac = 8 2 – 1 2 u / u ൭ 8 2 ൱ 2 = 64 – 8/ Somando-se as áreas obtidas, temos: Ab + Ac = 36 – 9/ 2 + 64 – 8/ = 100 – 25/ 2 Portanto, Ab + Ac = Aa, o que está de acordo com o teorema de Pitágoras. b) Setor circular de 90º (faça o cálculo lite- ral com as letras a, b e c). C c A a B b A figura colorida é um setor circular de 90o com raio igual ao lado do triângulo. Assim, a área do setor circular relativo à hi- potenusa é Sa = 1 4 u / u a2 = / u a2 4 As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, res- pectivamente, Sb = / u b2 4 e Sc = / u c2 4 Somando-se as áreas obtidas, temos: Sb + Sc = / u b2 4 + / u c2 4 = / (b2 +c2) 4 Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 + c2 = a2. Portanto, / (b2 +c2) 4 = / u a2 4 , ou seja, Sb + Sc = Sa. Professor, comente com seus alunos que a área obtida neste item é igual à área referente ao círculo de diâmetro igual ao lado do triân- gulo, descrito no exemplo inicial. As atividades anteriores mostraram que as áreas das figuras construídas com base nos la- dos de um triângulo retângulo obedecem à re- lação de Pitágoras. É possível provar que isso vale para qualquer figura, desde que elas sejam semelhantes entre si. Vamos usar esse fato para o desenvolvimento da próxima atividade. C c A a B b C c A a B b C c A a B b Professor, para as próximas atividades, será necessário o uso de régua e compas- so. Sendo assim, não se esqueça de pedir aos alunos que tragam esse instrumento. 77 Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2 As lúnulas de Hipócrates Um dos desafios matemáticos que mais intrigaram os estudiosos desde a Antiguidade foi o pro- blema da quadratura do círculo. Esse problema consistia em construir um quadrado de área igual à de um circulo com determinado diâmetro. Em termos práticos, o problema se reduz a encontrar uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro do circulo, o que envolverá o numero π. Como sabemos hoje, esse problema só pode ser resolvido por meio de aproximações, pois π é um número irracional e não pode ser representado por uma razão entre inteiros. Contudo, consta que o matemático grego Hipócrates de Chios (460 a.C.) conseguiu resolver um problema de quadratura de uma figura curvilínea. Ele mostrou que a soma das áreas de duas lúnulas era igual à área de um triângulo retângulo (lúnulas são figuras curvilíneas delimitadas por dois arcos de circunferência). 20. Com base nas instruções a seguir, você vai construir duas lúnulas. Para isso, será necessá- rio o uso de uma régua e de um compasso. f 1a etapa: construa um triângulo retângu- lo ABC com lados medindo a = 5 cm, b = 3 cm e c = 4 cm. Nomeie os vértices com as letras A, B e C. O vértice A deve ser oposto ao lado a; o vértice B, oposto ao lado b; e o vértice C, oposto ao lado c. f 2a etapa: determine os pontos médios (Ma, Mb e Mc) dos lados desse triângulo. 1a e 2a etapas Mb Ma B A a b Mc C c f 3a etapa: construa um semicírculo, vol- tado para fora do triangulo, com centro nos pontos médios dos catetos b e c. f 4a etapa: construa um semicírculo com centro no ponto médio da hipotenusa, voltado para o interior do triângulo. Ma 3a e 4a etapas f 5a etapa: pinte levemente com um lápis a região formada entre os semicírculos dos catetos e o semicírculo da hipotenu- sa. Essas regiões são chamadas lúnulas. Lc Lb Rc Rb 5a etapas 78 Desafio! 21. Prove, algebricamente, que a soma das áreas das lúnulas é igual à do triângulo retângulo ABC representado a seguir. a c b B A C Sejam Lb e Lc as lúnulas relativas aos catetos b e c. Rb e Rc são os segmentos circulares limitados pelos catetos b e c. SCa, SCb e SCc são os semicírculos relativos aos lados a, b e c do triângulo. Seja T a área do triângulo retângulo ABC. Então, podemos escrever que: T = SCa – (Rb + Rc) (I). Lc Lb Rc B AC Rb Consideremos também que as áreas dos semicírculos re- presentados a seguir obedecem ao teorema de Pitágoras, como visto anteriormente, ou seja, SCa = SCb + SCc (II). C c A a B b As áreas das lúnulas Lb e Lc valem, respectivamente: Lb = SCb – Rb e Lc = SCc – Rc Então, a soma das áreas das lúnulas é dada por: Lb + Lc = SCb – Rb + SCc – Rc, ou Lb + Lc = SCb + SCc – (Rb + Rc) Considerando a relação (II), podemos escrever que Lb + Lc = SCa – (Rb + Rc). Comparando com a relação (I), concluímos que Lb + Lc = T. Ou seja, a soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo retângulo. Considerações sobre a avaliação Como vimos, as fórmulas para o cálcu- lo do perímetro e da área do círculo podem ser apresentadas aos alunos, dentro de um contexto experimental,