Johann Carl Friedrich Gauß (www.wikipedia.com) Show Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan bentuk pola-pola bilangan yang bisa digunakan untuk menarik kesimpulan dari berbagai kejadian. Salah satu pola bilangan yang terkenal adalah barisan aritmatika. Berdasarkan laman wikipedia aritmatika ditemukan oleh matematikawan bernama Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) pada abad ke-18. Operasi aritmatika dasar digunakan untuk kegiatan sehari-hari seperti berdagang, bertransaksi, dan lain-lain. Aritmatika kompleks atau rumit digunakan untuk merancang bangunan dan alat-alat lain. Nah, apa itu barisan dan deret aritmatika? Barisan Aritmatika Barisan Aritmatika adalah barisan yang tersusun atas suku-suku yang memiliki selisih tetap. Misalkan ada dua pola bilangan yaitu (a) 1, 3, 9, 27, … (b) 1, 3, 5, 7, … Pada barisan (pola bilangan) di atas, barisan (a) bukan merupakan barisan aritmatika karena jarak (selisih) antar sukunya tidak tetap, suku pertama dengan suku kedua selisihnya 2 sedangkan suku kedua dengan suku ketiga selisihnya 6, sedangkan barisan (b) merupakan barisan aritmatika karena selisih tiap sukunya sama yaitu 2. Suku pertama dinotasikan dengan “a” dan selisih antara dua suku yang berurutan dinotasikan dengan “b”. Adapun barisan aritmetika dapat dirumuskan sebagai berikut. a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + (n – 1)b) Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus berikut.
Penyelesaian: Pada barisan 8, 12, 16, 20, 24, … diketahui bahwa suku pertama (a) = 8, dan beda antar dua suku yang berurutan (b) = 12 – 8 = 16 – 12 = 4 Maka, suku ke-20: Jadi, suku ke-20 dari barisan berikut 8, 12, 16, 20, 24, … adalah 84. 2. Rumus suku ke-n dari barisan 5, -2, -9, -16, … adalah … Penyelesaian: Diketahui a = 5 dan b = -2 – 5 = -7 Maka, Jadi, rumus suku ke-n dari barisan 5, -2, -9, -16, … adalah Deret Aritmatika Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika. Penjumlahan suku-suku dari suku pertama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus: atau
Penyelesaian: Pada deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + … diperoleh a = 2, b = 3, dan dari pertanyaan diperoleh n = 20 sehingga: Jadi, jumlah sampai suku ke-20 dari deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + … adalah 610. 2. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24, dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah … Penyelesaian: Diketahui danDitanya: … ?Jawab: Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan substitusi dari persamaan danKita ingat lagi, Sehingga, U3 = a + 2b dan U6 = a + 5b Lakukan eliminasi: Kemudian, untuk mendapatkan nilai a, substitusi nilai b ke salah satu persamaan. Pada pembahasan ini kita ambil persamaan (1) sehingga diperoleh: Setelah kita peroleh, a = 16, dan b = 4, maka rumus deret menjadi Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660. Hai adik-adik, kalian juga bisa belajar materi ini dalam mode komik atau video lho. Klik saja tautan di bawah ini ya! Komik Barisan dan Deret Aritmatika https://online.fliphtml5.com/viiao/hojc/Video Barisan dan Deret Aritmatika
BARISAN DAN ARITMETIKA Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan Aritmatika atau aritmetika yang kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap. Rumusan Barisan Aritmatika Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut : U1, U2, U3, ….Un a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b Selisih (beda) dinyatakan dengan b b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1 Suku ke n barisan aritmatika (Un) dinyatakan dengan rumus: Un = a + (n-1) b Keterangan : Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, … a = suku pertama → U1 = a b = selisih/beda (1) 3, 7, 11, 15, 19, … Bentuk Barisan AritmatikaKeterangan: b = beda n = banyak suku Un= Suku ke-n Contoh Barisan Aritmatika
Penyelesaian: a = 3 b = 4
Suku Tengah Barisan Aritmatika Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut: Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c. Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar. Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil. Suatu barisan U1, U2, U3,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l). 3, 7, 11, 15, 19, … Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka U1 = 3 =+ 4 (0) U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1) U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)…. Un = 3 + 4(n-1) Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan Un = a + b(n-1) Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun. U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 – U1 = U3 – U2 = …. = Un – Un-1 = konstanta Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n Contoh Barisan Aritmatika :Tentukanlah suku ke 15 barisan 2, 6, 10, 14, … Jawab: n = 15 b = 6-2 = 10 – 6 = 4 U1 = a = 2 Un = a + (n-1) b U15 = 2 + (15-1)4 = 2 + 14.4 = 2 + 56 = 58 Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
Jawab : Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5. Un = a + (n – 1)b U10 = 3 + (10 – 1)5 = 3 + 9 x 5 = 3 + 45 = 48 Un = a + (n – 1)b = 3 + (n – 1)5 = 3 + 5n – 5 = 5n – 2 Misalkan Un = 198, maka berlaku : Un = 198 5n – 2 = 198 5n = 200 n = 40 Jadi 198 adalah suku ke- 40 Deret AritmatikaDeret Aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan aritmatika. Rumus Deret AritmatikaBentuk umum deret aritmatika : a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + … + (a+(n-1)b ) Jumlah suku hingga suku ke n pada barisan aritmatika dirumuskan dengan: Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un ) Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, … barisan aritmetika. U1, U2, U3, … adalah deret aritmetika. Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ). 3 +7 + 1l + 15 + 19 + … Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah : Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah Sisipan pada Barisan AritmatikaApabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka: Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan: Keterangan: b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku n’ = banyak suku barisan aritmatika baru n = banyak suku barisan aritmatika lama k = banyak suku yang disisipkan Sn’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku Contoh Sisipan Barisan Aritmatika Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah … Penyelesaian: Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116 a = 20 Un = 116 n = 2 k = 11 bilangan banyaknya suku baru : n’ = n + (n-1) k = 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13 Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884 Contoh Soal Deret Aritmatika Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, … Jawab: n = 10 U1 = a = 5 b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10 Sn = (2a + (n-1) b ) S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10) = 5 ( 10 + 9.10) = 5 . 100 = 500
a). -550 b). -250 c). -75 d). -115 c). -250 Penyelesaian : a = 20 b = U2-U1 = 15-20 = -5 Sn = n (a + Un) Un = a + (n – 1) b U20 = 20 + (20-1)(-5) = 20 + (19) (-5) = 20 – 95 = – 75 S20 = . 20 (20 + (-75)) = 10 (-55) S20 = – 550 Jawaban : A 2. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah ….. a). 105 b). 120 c). 150 d). 155 e). 165 Penyelesaian : a = 3 b = U3 – U2 – 1 = U3 – U2 = 7 – 5 = 2 Sn = n (2a + (n-1)b) = 10 (2 (5) + (10-1)2) = 5 (6+9) 2 = 120 Jawaban : B 3. Diketahui barisan aritmatikan dengan U4 = 11 dan U8 = 23. Suku ke 15 dari suku barisan aritmatika itu adalah ….. a). 345 b). 44 c). 49 d). -40 e). -44 Penyelesaian : Un = a + (n-1)b = a + (4-1)b = 11 = a + 36 = 11 U8 = a + (8-1)b = 23 = a + 7b = 23 Eliminasi a + 3b = 11 a + 7b = 23 -4b = -12 b = = 3 Substansi a + 3b = 11 a + 3 (3) = 11 a + 9 = 11 a = 11 – 9 = 2 U15 Un = a + (n-1) b U15 = 2 + (15-1) 3 = 2 + (14 x 3) = 44 Jawaban : B SETELAH MEMBACA MATERI DI ATAS, SILAHKAN KERJAKAN SOAL PADA LKS HALAMAN 15, SOAL NOMOR 1, 2 DAN 3. JAWABAN DAN ABSENSI KEHADIRAN SILAHKAN ISI LINK DI BAWAH INI: https://forms.gle/4Phj4YcdrFxYLHh18 |