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No colégio, principalmente durante o ensino fundamental, é comum que os jovens aprendam a raiz quadrada. Considerada muito complicada por muitos e fácil por outros, ela é utilizada sempre nas contas matemáticas. A raiz quadrada de um número é sempre um número real e positivo, que se eleva ao quadrado. Enquanto na raiz cúbica, ele é elevado ao cubo. No caso de ela ser elevada à quarta potência, será chamada de raiz quarta, assim como raiz quinta, e respectivamente. Como fazer?Na hora de calcular uma raiz quadrada, você precisa pensar que um número, quando elevado ao quadrado, é o resultado – por isso é tão importante conhecer a tabuada e as contas. Porém, há casos em que os números poderão complicar, isso porque são grandes demais. Nesse caso, é indicado usar o processo de fatoração, decompondo por números primos. Por exemplo, veja a raiz quadrada de 2704, abaixo: O ato da potencialização é necessário, uma vez que depois de fatorado, como o caso da raiz quadrada, você reunirá os números primos a cada potência de dois, ou seja, dividirá esses números entre quadrados perfeitos. Conforme o exemplo acima, você terá: Ao final, 52 é a raiz quadrada de 2704. Ao decompor o número em fatores primos, você poderá ter dois tipos de raiz quadrada:
A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata. Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas Resumo sobre raiz quadrada
Videoaula sobre raiz quadradaA radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada. Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81. O que é raiz quadrada?A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando. Exemplos: √4 = 2, pois 2² = 4 √9 = 3, pois 3² = 9 √16 = 4, pois 4² = 16 √25 = 5, pois 5² = 25 Como calcular a raiz quadrada?Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata. Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações. Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata. Exemplo: Calcule o valor da √324. Resolução: Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número: Dessa forma, calcula-se: √0 = 0 √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado. Exemplo: Calcule o valor da √60. Resolução: Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64. √49 < √60 < √64 Calculando as raízes de 49 e 64: 7 < √60 < 8 Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8. 7,9² = 62,41 7,8² = 60,84 7,7² = 59,29 Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8. Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso. Exercícios resolvidos sobre raiz quadradaQuestão 1 (Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA. A) 35 B) 24 C) 25 D) 17 E) 49 Resolução: Alternativa C Inicialmente, realizaremos a fatoração do número: Dessa forma, temos: √625 = √54 √625 = 5² √625 = 25 Questão 2 Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir: I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo. II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20. III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3. As afirmativas são, respectivamente: A) V, V e V. B) F, F e F. C) F, F e V. D) F, V e F. E) V, F e V. Resolução: Alternativa D I → Falsa A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo. II → Verdadeira Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30. III → Falsa 3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6. A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a. Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados. Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver? RadiciaçãoNa raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes. A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n. Elementos da radiciaçãoA operação é representada por: radicaln→ índice a→ radicando b→ raiz Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo. Calculando a raiz quadradaO cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a. Tipos de raiz quadradaUma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional. Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando. Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir. Calcule a raiz quadrada de 3600. Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada. Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical. Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100. Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100. Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos. Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49. Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40. 6,1² = 37,21 6,2²= 38,44 6,3²=39,69 6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação. Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata. Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver Interpretação geométrica da raiz quadradaAlguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m². Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área. O lado do quadrado é de 13 metros. A raiz quadrada é um tipo específico de radiciação.Exercícios resolvidosQuestão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72? A) 8,1 B) 8,2 C) 8,3 D) 8,4 E) 8,5 Resolução Alternativa D. Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que: 8,1²= 65,61 8,2²= 67,24 8,3²= 68,89 8,4²= 70,56 8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4. Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata? Resolução Alternativa C. a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121. b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69. c) Não possui raiz exata d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½. e) Possui raiz exata igual a 1. |