Nilai minimum dari f(x,y 20 x 2y yang memenuhi y 2x 14 x,y 8 dan x 2 adalah)

Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaaan linear 2 variabel kalimat matematika yang memuat data 2 variabel, misalnya x & y dengan pangkat tertinggi 1 & dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan.

Bentuk bentuk pertidaksamaan linear 2 variabel adalah sebagai berikut.

Daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2 variabel dapat disajikan dalam bidang Cartesius.Langkah langkah untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2 variabel

Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dari Daerah Penyelesaiannya
Sebelumnya trlah dibahas cara menentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear.Jika diketahui himpunan (daerah) penyelesaian dari suatu sistem

pertidaksamaan

Nilai Optimum Fungsi Objektif dari Sistem Pertidaksamaan Linear
Fungsi objektif / fungsi sasaran adalah suatu fungsi yang akan ditentukan nilai optimum (minimum/maksimum) dari fungsi kendala / sistem pertidaksamaan linear.

Nilai Optimum Fungsi Objektif dengan Uji Titik Pojok (Titik Ekstrim)
Uji titik pojok (titik ekstrim) merupakan cara yang sering digunakan dalam menentukan nilai optimum fungsi objektif dari sistem pertidaksamaan linear,yaitu dengan mensubtitusikan koordinat titik titik pojok adalah sebagai berikut.
A.Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang diketahui
B.Tentukan semua titik titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut
C.Substitusi setiap titik pojok yang diperoleh ke dalam fungsi objektif yang diketahui
D.Berdasarkan hasil pada langkah C,tetapkan nilai maksimum.minimumnya

Nilai Optimum dari Fungsi Objektif Dengan Garis Selidik
Selain menggunakan metode uji titik pojok,nilai optimum (maksimal dan minimum) bentuk objektif dari himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan dapat juga dicari dengan menggunakan garis selidik.Langkah langkah menentukan nilai optimum dengan menggunakan garis metode selidik

Menyelesaikan Masalah Program Linear
Pada umumnya,masalah program linear adalah menentukan nilai optimum (nilai maksimum/nilai minimum).Langkah langkah menyelesaikan masalah program linear adalah sebagai berikut

Ubah permasalahan verbal menjadi model matematika dalam fungsi kendala & fungsi objektif
B. Tentukan nilai optimum dengan menggunakan uji titik pojok (titik ekstrim) atau garis selidik

1.    Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah … a.    24 b.    32 c.    36 d.    40 e.    60 PEMBAHASAN: –    x + y ≤ 8 ketika x = 0, maka y = 8 …. (0, 8) ketika y = 0, maka x = 8 …. (8, 0) –    x + 2y ≤ 12 ketika x = 0, maka y = 6 …. (0, 6) ketika y = 0, maka x = 12 …. (12, 0) Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah:

Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu:

subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8 x + 4 = 8 x = 4 …. (4, 4) Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah: f(x, y) = 5x + 4y –    titik A (0, 6) 5x + 4y = 5.0 + 4.6 = 24 –    titik B (4, 4) 5x + 4y = 5.4 + 4.4 = 20 + 16 = 36 –    titik C (8, 0) 5x + 4y = 5.8 + 4.0 = 40 Jadi, nilai maksimumnya adalah 40.

JAWABAN: D

2.    Nilai minimum fungsi obyektif  f(x, y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah  …

a.    4 b.    6 c.    7 d.    8 e.    9 PEMBAHASAN: Perhatikan gambar berikut:

Ingat ya, rumus persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah: ax + by = a.b, maka: –    Persamaan garis p = 4x + 2y = 4.2 = 4x + 2y = 8 = 2x + y = 4 –    Persamaan garis q = 3x + 3y = 3.3 = 3x + 3y = 9 = x + y = 3 Selanjutnya, kita cari titik potong garis p dan q, yaitu di titik B:

subtitusikan x = 1 dalam x + y =3 1 + y = 3 y = 2 …. B(1, 2) kita cari nilai dari fungsi obyektif  f(x, y) = 3x + 2y: –    Titik A (0, 4) 3x + 2y = 3.0 + 2.4 = 8 –    Titik B (1, 2) 3x + 2y = 3.1 + 2.2 = 7 –    Titik C (3, 0) 3x + 2y = 3.3 + 2.0 = 9 Jadi, nilai minimumnya adalah 7

JAWABAN: C

3.    Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12, 4x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah …

a.    I b.    II c.    III d.    IV e.    I dan III PEMBAHASAN: –    Daerah hasil 2x + 3y ≤ 12 adalah area II dan III –    Daerah hasil  4x + y ≥ 10 adalah area III dan IV Maka, yang mencakup keduanya adalah area nomor III

JAWABAN: C

4.    Seorang tukang jahit akan membuat pakaian model A dan model B. Model A memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model B memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m. Banyaknya total pakaian jadi akan maksimal jika banyaknya model A dan model B masing-masing… a.    7 dan 8 b.    8 dan 6 c.    6 dan 4 d.    5 dan 9 e.    4 dan 8 PEMBAHASAN: Dari soal dapat diresume dalam tabel berikut;

Model matematika yang dapat dibentuk: x + 2y ≤ 20 1,5x + 0,5 y ≤ 10 atau 15x + 5y ≤ 100 Kita cari titik potong kedua garis tersebut:

subtitusikan x = 4 dalam persamaan x + 2y = 20 4 + 2y = 20 2y = 16 y = 8 maka, banyak model A = 4 dan model B = 8

JAWABAN: E

5.    Daerah mana yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum fungsi objektif (3x + 5y) pada daerah penyelesaian tersebut …

a.    30 b.    26 c.    24 d.    21 e.    18 PEMBAHASAN: Perhatikan gambar:

–    Persamaan garis p = 6x + 4y = 24 atau 3x + 2y = 12 –    Persamaan garis q = 4x + 6y = 24 atau 2x + 3y = 12 Titik potong garis p dan q adalah:

subtitusikan y = 12/5 dalam 2x + 3y = 12: 2x + 3.12/5 = 12 2x = 12 – 36/5 2x = 60/5 – 36/5 2x = 24/5 x = 24/10 = 12/5 …. titik B (12/5, 12/5) Nilai dari fungsi obyektif  3x + 5y adalah: –    Titik A (0, 6) 3x + 5y = 3.0 + 5. 6 = 30 –    Titik B (12/5, 12/5) 3x + 5y = 3.12/5 + 5.12/5 = 36/5 + 60/5 = 96/5 = 19,2 –    Titik C (6, 0) 3x + 5y = 3.6 + 5.0 = 18 Jadi, nilai minimumnya adalah 18

JAWABAN: E

6.    Nilai maksimum dari z = -3x + 2y yang memenuhi syarat 3x + y ≤ 9, 5x + 4y ≥ 20, x ≥ 0 adalah … a.    10 b.    14 c.    18 d.    20 e.    24 PEMBAHASAN: –    3x + y ≤ 9 Jika x = 0, maka y = 9 …. (0, 9) Jika y = 0, maka x = 3 …. (3, 0) –    5x + 4y ≥ 20 Jika x = 0, maka y =5 ….. (0, 5) Jika y = 0, maka x = 4 …. (4, 0) Kita cari daerah hasilya dengan menggambarnya:

Kita cari dulu titik potong kedua garis di titik B:

subtitusikan x = 16/7 dalam 3x + y = 9 3.16/7 + y = 9 48/7 + y = 9 y = 9 – 48/7 y = 63/7 – 48/7 y = 15/7 … titik B (16/7, 15/7) Kita cari nilai dari fungsi obyektif  z = -3x + 2y: –    Pada titik A (0, 9) -3x + 2y = -3.0 + 2.9 = 18 –    Pada titik B (16/7, 15/7) -3x + 2y = -3.16/7 + 2.15/7 = -48/7 + 30/7 = -18/7 –    Pada titik C (0, 5) -3x + 2y = -3.0 + 2.2 = 4 Jadi, nilai maksimumnya adalah 18.

JAWABAN: C

7.    Dalam sistem pertidaksamaan: 2y ≥ x : y ≤ 2x; 2y + x ≤ 20; x + y ≥ 9. Nilai maksimum untuk 3y – x dicapai di titik …

a.    P b.    Q c.    R d.    S e.    T PEMBAHASAN: Kita cari dulu titik potong-titik potong pada soal di atas:

–    Titik P

P adalah perpotongan dari x + y = 9 dan 2y = x, maka subtitusikan saja: 2y + y = 9 3y = 9 y = 3 maka x = 2y = 6 … titik P (6, 3) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.3 – 6 = 3

–    Titik Q

Q adalah perpotongan dari x + y = 9 dan y = 2x, maka subtitusikan saja: x + 2x = 9 3x = 9 x =3 dan y = 2x = 6 … titik Q(3, 6) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.6 – 3 = 15

–    Titik R

R adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan y = 2x, maka subtitusikan saja: 2.2x + x = 20 5x = 20 x = 4 dan y = 2x = 8 … titik R (4, 8) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.8 – 4 = 20

–    Titik S

S adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan 2y = x, maka subtitusikan saja: x + x = 20 2x = 20 x = 10 dan 2y = x, maka y = 5 … titik S (10, 5) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.5 – 10 = 5 Maka, nilai maksimumnya adalah 20 di titik R

JAWABAN: C

8.    Nilai minimum dari -2x + 4y + 6 untuk x dan y yang memenuhi 2x + y – 20 ≤ 0, 2x – y + 10 ≥ 0, x + y – 5 ≤ 0, x – 2y – 5 ≤ 0, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah … a.    -14 b.    -11 c.    -9 d.    -6 e.    -4 PEMBAHASAN:

–    2x + y – 20 ≤ 0 atau 2x + y = 20

Untuk x = 0, maka y = 20 … (0, 20) Untuk y = 0, maka x = 10 …. (10, 0)

–    2x – y + 10 ≥ 0 atau 2x – y = -10

Untuk x = 0, maka y = 10 … (0, 10) Untuk y = 0, maka x = -5 …. (-5, 0)

–    x + y – 5 ≤ 0 atau x + y = 5

Untuk x = 0, maka y = 5 … (0, 5) Untuk y = 0, maka x = 5 …. (5, 0)

–    x – 2y – 5 ≤ 0 atau x – 2y = 5

Untuk x = 0, maka y = -2,5 … (0, -2,5)

Untuk y = 0, maka x = 5 …. (5, 0)

Kita cari daerah hasilnya dengan menggambarnya:

–    titik A adalah titik potong antara 2x – y = -10 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya:
2x + 15 = 20 2x = 5 x = 5/2 … titik A (5/2, 15) Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.5/2 + 4.15 + 6 = -5 + 60 + 6 = 61

–    titik B adalah titik potong antara x – 2y = 5 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya:

2x + 2 = 20 2x = 18 x = 9 … titik B (9, 2) Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.9 + 4.2 + 6 = -18 + 8 + 6 = -4

–    titik C (5, 0)

Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.5 + 4.0 + 6 = -10 + 0 + 6 = -4

–    titik D (0, 5)

Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.0 + 4.5 + 6 = 0 + 20 + 6 = 2

–    titik E (0, 10)

Maka nilai dari fungsi obyektif  -2x + 4y + 6  adalah -2.0 + 4.10 + 6 = 0 + 40 + 6 = 46 Sehingga, nilai minimalnya adalah -4

JAWABAN: E

9.    Nilai minimum f(x, y) = 3 + 4x – 5y untuk x dan y yang memenuhi –x + y ≤ 1, x + 2y ≥ 5 dan 2x + y ≤ 10 adalah … a.    -19 b.    -6 c.    -5 d.    -3 e.    23 PEMBAHASAN;

–    –x + y = 1

Jika x = 0, maka y = 1 … (0, 1) Jika y = 0, maka x = -1 … (-1, 0)

–     x + 2y = 5 

jika x = 0, maka y = 5/2 … (0, 5/2) jika y =0, maka x = 5 … (5, 0)

–    2x + y = 10

Jika x = 0, maka y = 10 … (0, 10) Jika y = 0, maka x = 5 … (5, 0) Mari kita gambar daerah hasilnya:

–    Titik A adalah titik potong antara –x + y = 1 dan 2x + y = 10, maka titik potongnya:
2.3 + y = 10 6 + y = 10 y = 4 … titik A (3,  4) Maka, nilai obyektif  fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.3 – 5.4 = 3 + 12 – 20 = -5

–    Titik B adalah titik potong antara  –x + y = 1 dan x + 2y = 5, maka titik potongnya:

x + 2.2 = 5 x + 4 = 5 x =1 … titik B (1, 2) Maka, nilai obyektif  fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.1 – 5.2 = 3 + 4 – 10 = -3

–    Titik C (5, 0)

Maka, nilai obyektif  fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.5 – 5.0 = 3 + 20 – 0 = 23 Jadi, nilai minimum fungsi adalah -5

JAWABAN: C

10.    Fungsi F = 10x + 15y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 800, y ≤ 600, dan x + y ≤ 1000 mempunyai nilai maksimum … a.    9.000 b.    11.000 c.    13.000 d.    15.000 e.    16.000 PEMBAHASAN: –    x = 800 –    y = 600 –    x + y = 1000 jika x = 0, maka y = 1000 … (0, 1000) jika y = 0, maka x= 1000 … (1000, 0) Yuk, kita gambar daerah hasilnya:

–    titik A adalah titik potong antara y = 600 dan x + y = 1000, maka titik A adalah: x + 600 = 1000 x = 400 … titik A (400, 600) Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.400 + 15.600 = 4000 + 9000 = 13.000

–    titik B (0, 600)

Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.0 + 15.600 = 0 + 9000 = 9.000

–    titik C adalah titi potong antara x = 800 dan x + y = 1000, maka titik C adalah:

800 + y = 1000 y = 200 …. titik C (800, 200) Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.200 = 8000 + 3000 = 11.000

–    titik D (800, 0)

Maka nilai obyektif  F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.0 = 8000 + 0 = 8.000 Sehingga nilai maksimumnya adalah 13.000

JAWABAN: C