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hambúrgueres, tomou um refrigerante e gastou R$ 17,60. Julia comeu um hambúrguer e também tomou um refrigerante, gastando R$ 11,60. Para saber o preço do hambúrguer e do refrigerante nessa lanchonete pode-se utilizar um sistema de equações. O sistema de equações que relaciona o preço do hamburguer (x) e o preço do refrigerante (y) com o valor pago por André e Júlia é: 7. Resolva as equações: a. 5p = 10p b. 3z = 15z c. 4x = 16 x d. 5k – 3 = 17k e. 3q – 2 = 16 q f. 2j + 3 = 9j g. 6n + 4 = 22n h. 3r – 6 = - 6r + 21r i. 5y + 8 = 3y + 6y j. 7m + 8 = 15m k. 6x + 13 = - 5x + 8x l. 2,9 b – 5,1 = - 0,1b + 0,9 MATEMÁTICA | 7 AULAS 5 E 6: REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM SISTEMA LINEAR DE 1º GRAU NO PLANO CARTESIANO Objetivos da aula: • Representar um sistema de duas equações de 1º grau por retas no plano cartesiano; • Identificar as relações entre coeficientes de uma equação da forma y = ax + b com propriedades geomé- tricas da reta que representa essa equação no plano cartesiano; • Expressar por meio de uma equação da forma y = ax + b os pontos de uma reta traçada no plano cartesiano. Caro estudante, para o desenvolvimento das atividades propostas a seguir, será necessário relembrar alguns conceitos sobre o plano cartesiano. Você deve ficar atento aos comentários e possíveis complementos que o professor fará no decorrer das aulas, pois serão apresentadas novas ideias sobre sistema linear de 1º grau. Dizemos que uma equação linear é do 1º grau com duas incógnitas quando escrita na forma ax + by = c , sendo a, b e c os coeficientes numéricos, de modo que os coeficientes a, b são diferentes de 0. No sistema linear a 82 | MATEMÁTICA 6 | MATEMÁTICA 5. (Saeb, 2015 - Adaptado) João e Pedro foram a um restaurante almoçar e a soma da conta deles foi de R$ 28,00. A conta de Pedro foi o triplo do valor da de seu companheiro. O sistema de equação do 1º grau que melhor traduz o problema é: 6. (AAP/2017 – Adaptado) André e Júlia foram a uma lanchonete. André comeu dois hambúrgueres, tomou um refrigerante e gastou R$ 17,60. Julia comeu um hambúrguer e também tomou um refrigerante, gastando R$ 11,60. Para saber o preço do hambúrguer e do refrigerante nessa lanchonete pode-se utilizar um sistema de equações. O sistema de equações que relaciona o preço do hamburguer (x) e o preço do refrigerante (y) com o valor pago por André e Júlia é: 7. Resolva as equações: a. 5p = 10p b. 3z = 15z c. 4x = 16 x d. 5k – 3 = 17k e. 3q – 2 = 16 q f. 2j + 3 = 9j g. 6n + 4 = 22n h. 3r – 6 = - 6r + 21r i. 5y + 8 = 3y + 6y j. 7m + 8 = 15m k. 6x + 13 = - 5x + 8x l. 2,9 b – 5,1 = - 0,1b + 0,9 MATEMÁTICA | 7 AULAS 5 E 6: REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM SISTEMA LINEAR DE 1º GRAU NO PLANO CARTESIANO Objetivos da aula: • Representar um sistema de duas equações de 1º grau por retas no plano cartesiano; • Identificar as relações entre coeficientes de uma equação da forma y = ax + b com propriedades geomé- tricas da reta que representa essa equação no plano cartesiano; • Expressar por meio de uma equação da forma y = ax + b os pontos de uma reta traçada no plano cartesiano. Caro estudante, para o desenvolvimento das atividades propostas a seguir, será necessário relembrar alguns conceitos sobre o plano cartesiano. Você deve ficar atento aos comentários e possíveis complementos que o professor fará no decorrer das aulas, pois serão apresentadas novas ideias sobre sistema linear de 1º grau. Dizemos que uma equação linear é do 1º grau com duas incógnitas quando escrita na forma ax + by = c , sendo a, b e c os coeficientes numéricos, de modo que os coeficientes a, b são diferentes de 0. No sistema linear a MATEMÁTICA | 83 8 | MATEMÁTICA seguir, temos a equação linear (I) x + 3y = 5 e a equação (II) 2x – 3y = - 8. x + 3y = 5 (I) 2x -3y = -8 (II) Para cada uma dessas equações lineares existe uma representação geométrica, que é uma reta. Para acharmos os pontos da reta da equação (I) x + 3y = 5 basta atribuirmos um valor qualquer a uma das incógnitas para determinarmos o valor da outra incógnita. Por exemplo, vamos dizer que x = 2 na equação x + 3y = 5 e calculemos o valor de y 2 + 3y = 5 → 3y = 5 – 2 → 3y = 3 → y = 1 Neste caso, o par ordenado (x,y) é A (2,1). Se atribuirmos um outro valor para x , para a equação (I) x + 3y = 5, agora vamos dizer que x = - 1 , obtemos assim o ponto B. -1 + 3y = 5 → 3y = 5+ 1 → 3y = 6 → y = 2. Observem que os pares ordenados A ( 2,1) e B ( -1,2), ao serem representados no plano cartesiano, ambos os pontos pertencem a mesma reta. eq1 A B 3 2 1 0 -1 1 2 3 4-1-2-3-4-5 Fonte: Arquivo do autor Se atribuirmos os mesmos valores ( x = 2 e x = -1 ) para a equação linear (II) 2x -3y = -8 , o resultado do par ordenado também será (2,1). Nesse caso, o par ordenado (2,1) é comum as equações lineares (I) e (II), logo, é a solução do sistema linear. Ao representarmos as duas equações lineares no plano cartesiano, observem que o par ordenado (2,1) é a intersecção das duas retas. x + 3y = 5 (eq1); 2x -3y = -8 (1q2) 3 eq1: x + 3y = 5 eq2: 2x - 3y = -8 A = (1, 2) 2 1 0 1-1-2-3 Fonte: Arquivo do autor MATEMÁTICA | 9 1. No plano cartesiano abaixo encontra-se a representação geométrica do sistema de equações 2x +3 y = 4 -5x- 2y = 1 -2 5 4 3 2 1 0 -1 eq1: 2x + 3y = 4 eq2: -5x - 2y = 1 -1 1 2-3 C D BA Fonte: Arquivo do autor Nesse plano, o par ordenado (x, y) que é solução desse sistema está representado pelo ponto. a. D b. C c. B d. A 2. Construa as retas no plano cartesiano que contém as soluções dos sistemas de equações: a. x + y = 7 2x -y = -1 Representação geométrica do sistema linear 5 4 3 2 1 0 -1 -1 1 2 3 4 5 6-2-3-4 -2 Fonte: Arquivo do autor 84 | MATEMÁTICA 8 | MATEMÁTICA seguir, temos a equação linear (I) x + 3y = 5 e a equação (II) 2x – 3y = - 8. x + 3y = 5 (I) 2x -3y = -8 (II) Para cada uma dessas equações lineares existe uma representação geométrica, que é uma reta. Para acharmos os pontos da reta da equação (I) x + 3y = 5 basta atribuirmos um valor qualquer a uma das incógnitas para determinarmos o valor da outra incógnita. Por exemplo, vamos dizer que x = 2 na equação x + 3y = 5 e calculemos o valor de y 2 + 3y = 5 → 3y = 5 – 2 → 3y = 3 → y = 1 Neste caso, o par ordenado (x,y) é A (2,1). Se atribuirmos um outro valor para x , para a equação (I) x + 3y = 5, agora vamos dizer que x = - 1 , obtemos assim o ponto B. -1 + 3y = 5 → 3y = 5+ 1 → 3y = 6 → y = 2. Observem que os pares ordenados A ( 2,1) e B ( -1,2), ao serem representados no plano cartesiano, ambos os pontos pertencem a mesma reta. eq1 A B 3 2 1 0 -1 1 2 3 4-1-2-3-4-5 Fonte: Arquivo do autor Se atribuirmos os mesmos valores ( x = 2 e x = -1 ) para a equação linear (II) 2x -3y = -8 , o resultado do par ordenado também será (2,1). Nesse caso, o par ordenado (2,1) é comum as equações lineares (I) e (II), logo, é a solução do sistema linear. Ao representarmos as duas equações lineares no plano cartesiano, observem que o par ordenado (2,1) é a intersecção das duas retas. x + 3y = 5 (eq1); 2x -3y = -8 (1q2) 3 eq1: x + 3y = 5 eq2: 2x - 3y = -8 A = (1, 2) 2 1 0 1-1-2-3 Fonte: Arquivo do autor MATEMÁTICA | 9 1. No plano cartesiano abaixo encontra-se a representação geométrica do sistema de equações 2x +3 y = 4 -5x- 2y = 1 -2 5 4 3 2 1 0 -1 eq1: 2x + 3y = 4 eq2: -5x - 2y = 1 -1 1 2-3 C D BA Fonte: Arquivo do autor Nesse plano, o par ordenado (x, y) que é solução desse sistema está representado pelo ponto. a. D b. C c. B d. A 2. Construa as retas no plano cartesiano que contém as soluções dos
O plano cartesiano é um objeto matemático plano e composto por duas retas numéricas perpendiculares, ou seja, retas que possuem apenas um ponto em comum, formando um ângulo de 90°. Esse ponto comum, é um conhecido como origem e é nele que é marcado o número zero de ambas retas. O plano cartesiano recebeu esse nome por ter sido idealizado por Renê Descartes e é usado fundamentalmente para sistematizar técnicas de localização no plano. As duas retas que dão origem ao plano cartesiano precisam ser retas numéricas, pois essa é a condição que tornará possível encontrar localizações de pontos quais quer no plano. Essa localização é a base fundamental de muitos conhecimentos comuns no cotidiano, como distância entre pontos.
ATIVIDADE 1
Construa no seu caderno um sistema cartesiano e nele marque os pontos: A (1,1), B ( 0,0), C ( -2, 2 ), D (-1,-1) e E ( -2.-2).
ATIVIDADE 2
Lembrando que uma equação do 10 grau com duas variáveis, é uma equação do 10grau, na qual aparecem duas letras, as quais nós chamamos de variáveis ou incógnitas.
Ex. 2x + 2y = 6 . Aqui as duas variáveis são x ey.
Chamamos de representação geométrica de uma reta, a representação no sistema cartesiano, (sistema X o Y), da referida reta.
Para fazer a representação geométrica de uma equação do 1 grau de duas, inicialmente construímos uma tabela de forma que você atribui um determinado valor para x, usando a equação, você encontra o valor correspondente de y. É importante saber que sempre a representação geométrica, ou falando de outra forma, a representação no sistema cartesiano de uma equação com duas variáveis do 1 o grau é sempre uma reta.
Recomendo assistir os seguintes vídeos no youtube:
Veja:
A representação geométrica da reta: 2x+2y = 6
| x | 2x + 2y = 6 | ( x, y ) |
| 2 | 2.( 2) + 2y = 6 4 + 2y=6 2y= 6 – 4 2y =2 y = 1 | ( 2, 1) |
| 0 | 2. (0)+ 2y= 6 0+2y= 6 y= 3 | ( 0, 3) |
| -2 | 2.( -2) + 2y = 6 – 4 + 2y=6 2y= 6 + 4 2y =10 y = 5 | ( – 2, 5) |
Agora é só construir os eixos XOY, representar nele os pontos (2,1),(0,3) e
(- 2, 5). e traçar a reta: 2x + 2y= 6.
Agora faça você no seu caderno, a representação da equação x + y = 3 no plano cartesiano (é o mesmo que representação geométrica da reta).
ATIVIDADE 3
Essa atividade é a solução gráfica de um sistema de duas equações,com duas incógnitas do 1o grau. Para tanto você fará a representação geométrica de cada uma das equações do sistema e a solução geométrica desse sistema será o ponto de encontro dessas retas. Lembreque no sistema cartesiano, cada ponto é representado por letra maiúscula, e por um par ordenado ( x,y).
Para um melhor entendimento veja o vídeo :
Solução Gráfica de um Sistema de Equações do 1º Grau – Sistema Possível e Determinado – Canal É Pra Copiar? – YouTube
Agora faça você no caderno a representação geométrica do sistema:
Saiba Mais | Referências:
Equações do 1º Grau com Duas Incógnitas – Professora Angela – Professora Angela Matemática – YouTube
Equação do 1º grau com duas incógnitas – Canal Dividindo a Matemática – YouTube
Solução Gráfica de um Sistema de Equações do 1º Grau – Sistema Possível e Determinado – Canal É Pra Copiar? – YouTube
SILVEIRA, Enio e MARQUES, Cláudio. Matemática compreensão e prática. São Paulo: Moderna 2017; IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 2019.
| Objeto de Conhecimento | Valor numérico de expressões algébricas Associação uma equação linear de 1° grau a uma reta no plano cartesiano. |
| Habilidades | (EF08MA07) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano. (EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso. |
| Proponentes/ Professores: | Sheila Jeremy de Clermon Pinerolo Almeida Castro Silva |
| Instituição Educacional: | Escola Municipal Nova Conquista |
| CRE: | Maria Helena Bretas |
Ciclo da Adolescência – Turma H (8º ano) – Ed. Financeira e Empreendedorismo