Como é representado a aceleração de um ponto material

1.0 Conceitos CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL Cinemática é a parte da Mecânica que descreve os movimentos. Ponto material é um corpo móvel cujas dimensões não interferem no estudo em questão. Trajetória é o conjunto das posições sucessivas de um móvel no decorrer do tempo. A forma da trajetória feita por um corpo depende do referencial. Origem dos espaços é o marco zero da trajetória. Referencial ou sistema de referência é o corpo em que identifica se um móvel está em movimento ou em repouso. Um corpo está em movimento em relação a um referencial quando a sua posição muda no decurso do tempo. Um corpo está em repouso em relação a um referencial quando sua posição não varia no decurso do tempo. 2.0 Movimento em Uma Dimensão 2.1 Posição Se um ponto material se desloca ao longo de uma trajetória retilínea, diz-se que ocupa uma certa posição P na reta. Para definir esta posição, escolhe-se uma origem O fixa na reta e um sentido positivo ao longo dela; mede-se a distância x de O a P atribuindo-se um sinal positivo ou negativo, de acordo com a orientação escolhida. A coordenada de posição no ponto material é a distância OP, representada por x. Quando a coordenada de posição x for conhecida para qualquer valor do tempo t, diz-se que o movimento do ponto será conhecido. Note que a posição não indica quando o móvel andou nem o sentido do movimento. 2.2 Velocidade 2.2.1 Velocidade Média Velocidade é uma grandeza que modifica diretamente a posição. A velocidade média da partícula no intervalo Δt é um vetor e é definida como o quociente entre o deslocamento Δx e o intervalo de tempo Δt. Este vetor independe da trajetória e fornece o resultado do movimento. A velocidade escalar média é dada por: Esta depende da trajetória e fornece detalhes do movimento.

2.2.2 Velocidade Instantânea A velocidade instantânea do ponto material no instante t é obtida da velocidade média, considerando-se intervalos de tempo cada vez menores, tendendo a zero, ou seja, representa a velocidade de uma partícula num único instante de tempo. O sinal da velocidade instantânea depende da inclinação do gráfico posição em função do tempo. 2.3 Aceleração 2.3.1 Aceleração Média Aceleração é uma grandeza que modifica diretamente a velocidade. A aceleração média do ponto, no intervalo de tempo Δt, é um vetor e é definida como o quociente entre Δv e Δt: 2.3.2 Aceleração Instantânea A aceleração instantânea do ponto material no instante t é obtida da aceleração média, considerando-se intervalos de tempo cada vez menores, tendendo a zero, ou seja, representa a aceleração de uma partícula num único instante de tempo. O sinal da aceleração instantânea depende da inclinação do gráfico velocidade em função do tempo. Quando a velocidade e a aceleração do corpo estão na mesma direção, o corpo se torna mais rápido. Se eles estiverem em direções opostas, a velocidade escalar do corpo diminui no tempo. 2.4 Determinação do Movimento de um Ponto Material Um movimento é raramente definido entre x e t; muitas vezes, as condições do movimento estarão especificadas pelo tipo de aceleração que o ponto possui.

Para qualquer caso de aceleração em função do tempo, posição ou velocidade, temos que: Utilizando a regra da cadeia, temos: Podemos encontrar: Utilizando-se da integral, temos: OBS.: Lembrando que, ao resolver a integral, deve-se adicionar a constante C, pois se trata de uma integral indefinida. Geralmente na questão contém informações cujo objetivo é identificar esta constante. 2.5 Movimento Retilíneo Uniforme Nesse movimento, a aceleração do ponto material é nula para qualquer valor de t, tornando a velocidade constante. A velocidade instantânea durante um intervalo de tempo é a mesma que a velocidade média durante o intervalo. Equação horária da posição:

2.6 Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado Nesse movimento, a aceleração do ponto material é constante não-nula para qualquer valor de t. A aceleração instantânea durante um intervalo de tempo é a mesma que a aceleração média durante o intervalo. Equação horária da velocidade: Equação horária da posição: Equação da velocidade em função da posição (Equação de Torricelli):

A velocidade média é a soma aritmética da velocidade inicial e final: Como x x 0 = v x t, então: 2.6.1 Corpos em Queda Livre Corpos em queda livre sofrem efeito da gravidade g, que é constante. O vetor g aponta para baixo em direção ao centro da Terra com um módulo de 9,8 m/s². Corpo em queda livre é um corpo que se move livremente sob a influência apenas da gravidade, independe de seu movimento inicial. Como o movimento é vertical e a gravidade aponta para baixo, as equações do movimento com aceleração constante são adaptadas: OBS.: A diferença entre Queda livre e Lançamento Vertical é que este último depende de seu movimento inicial, ou seja, v y 0 adquire um valor diferente de zero na equação.

3.0 Movimento em Duas e Três Dimensões Quando um ponto material desloca-se ao longo de uma curva, dizemos que está em movimento curvilíneo. 3.1 Vetor Posição O vetor r é originado quando traçamos um vetor unindo a origem O ao ponto P, no instante t. 3.2 Vetor Velocidade 3.2.1 Vetor Velocidade Média A velocidade média no ponto material é definida como o quociente entre Δr e Δt. Independe da trajetória entre os dois pontos. 3.2.2 Vetor Velocidade Instantânea A velocidade instantânea do ponto material no instante t é obtida quando Δt tende a zero: A direção do vetor velocidade instantânea está ao longo da linha tangente à trajetória.

3.3 Vetor Aceleração 3.3.1 Vetor Aceleração Média A aceleração média do ponto material no intervalo de tempo Δt é definida como o quociente Δv/Δt. Em geral, a aceleração não é tangente à trajetória do material. 3.3.2 Vetor Aceleração Instantânea A aceleração instantânea do ponto material no instante t é obtida quando Δt tende a zero: 3.4 Componentes Cartesianas O movimento tridimensional com aceleração constante é equivalente a três movimentos independes nas direções x, y e z. Princípio de Independência dos Movimentos Simultâneos: Se um móvel apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo. Ou seja, um movimento não depende do outro para surgir e agir. Quando a posição de um ponto P for definida por suas coordenadas cartesianas x, y e z, é conveniente decompor sua velocidade v e sua aceleração a em função de tais componentes: OBS.: Na decomposição vetorial, o vetor g, como aponta para baixo na direção vertical, é decomposta apenas no eixo y, ou seja: g = gj. OBS.: A equação da trajetória não é r(t), e sim y(x).

Adaptações: 3.5 Movimento de Projétil Lançamento Horizontal e Oblíquo Modelo de simplificação: A aceleração g é constante e direcionada para baixo. O efeito da resistência do ar é desprezível. A direção y é vertical e positiva apontando para cima. No t = 0 o projétil parte da origem.

Pelo desenho, podemos identificar que: A trajetória é completamente especificada conhecendo o ângulo e a velocidade inicial: Aplicando (I) em (II), temos: Um projétil lançado sobre um solo plano, com trajetória simétrica, possui as seguintes características: Tempo de subida é igual ao tempo descida: Na altura máxima, v y = 0: No alcance, utiliza-se t = 2t 1 :

No alcance máximo, utiliza-se θ = 45 : Analisando o desenho abaixo, percebe-se que o alcance será máximo quando o ângulo entre a trajetória e o eixo x for 45.

3.6 Movimento Circular Uniforme O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória do corpo e perpendicular ao raio da trajetória circular, cujo módulo é constante, mas a direção não. O vetor aceleração é sempre perpendicular à trajetória e sempre aponta para o centro do círculo, sendo chamada de aceleração centrípeta. Por semelhança de triângulos, sabe-se que: Substituindo Δv por aδt, temos: Aproximando t para zero, a razão Δr /Δt aproxima-se da velocidade escalar v e a aceleração média torna-se instantânea: OBS.: A aceleração centrípeta não é constante, pois ela muda frequentemente de direção ao se deslocar na trajetória circular. Período é o tempo necessário para uma revolução (volta) completa. Em 1 período, a partícula descola-se 2πr (comprimento de 1 volta):

3.7 Movimento Circular Não-Uniforme Neste movimento a partícula move-se com uma velocidade cuja direção e módulo variam. O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória, e o vetor aceleração faz um ângulo θ com a trajetória, sendo descrito como a soma vetorial entre a aceleração tangencial e a aceleração radial: A aceleração tangencial surge da mudança na velocidade escalar (módulo da velocidade) da partícula: A aceleração radial surge da mudança na direção do vetor velocidade: O módulo da aceleração é dado por: 4.0 Velocidade Relativa Considere 2 partículas em movimento. Quando as suas velocidades estão em sentidos contrários, o módulo da velocidade relativa entre os corpos é dado pela soma dos módulos das velocidades; quando estão em sentidos iguais, o módulo é dado pela diferença dos módulos das velocidades. A velocidade relativa será aproximação quando houver um ponto de encontro, e de afastamento quando não houver. 4.1 Composição de Movimento Considere: Velocidade do barco: Velocidade relativa ( ). Velocidade da correnteza: Velocidade de arrastamento ( ). Velocidade resultante: ( ). Se um barco navega rio abaixo, ele navega a favor da correnteza.

Se um barco navega rio acima, ele navega contra a correnteza. Se um barco atinge a outra margem navegando perpendicularmente às margens: Se um barco atinge a outra margem no ponto em frente ao ponto de partida, ele possui o menor deslocamento resultante possível, com a velocidade resultante perpendicular às margens.

Ponto material-corpo extenso 

O ponto material é considerado um corpo com qualquer tamanho ou forma, que tem por objetivo representar um objeto qualquer independente da sua dimensão. 

Corpo é uma quantidade limitada de matéria. Então, todo corpo possui dimensões, mas muitas vezes elas não são levadas em conta porque são muito pequenas em relação as distâncias envolvidas em certos problemas. Um corpo, em tais circunstâncias, é considerado um ponto material (a Terra em relação ao Sol; uma canoa navegando no rio Negro; o “Vivaldão” em relação à cidade). Qualquer corpo pode ser considerado um ponto material, dependendo da comparação que se faça. 

Já o corpo extenso é quando o tamanho do corpo depende das dimensões do objeto, ou seja, ele é ao contrário do ponto material. 

Vejamos alguns exemplos de ponto material- corpo extenso: 

a força da gravidade é totalmente dependente da distância entre dois corpos, quando uma pessoa está na mesma superfície que a outra, porém bem distante da outra, ela sentirá uma força gravitacional muito menor do que a dos pés. Neste exemplo as pessoas representam o corpo extenso com intensidades diferentes.

Quando a terra esta está em translação, podemos considerá-la um ponto material, pois seu tamanho não é importante em relação à extensão de sua órbita.