Observe o gráfico a seguir as raízes da função do 2 grau que tem como representação esse gráfico são

Uma função é considerada do segundo grau quando pode ser escrita na forma a seguir:

f(x) = ax2 + bx + c

Em que a, b e c são números reais conhecidos como coeficientes, e o coeficiente a sempre deve ser diferente de zero.

Toda função do segundo grau pode ser representada graficamente por uma parábola. Algumas das características dessa figura estão relacionadas aos valores dos coeficientes da função que ela representa, conforme veremos a seguir.

Coeficiente A e a concavidade da parábola

O coeficiente a, número real que multiplica x2, pode ser usado para indicar a concavidade da parábola da seguinte maneira:

Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

A melhor maneira de saber o que é a concavidade é observar um exemplo. Na figura a seguir, por exemplo, a concavidade da parábola à esquerda é voltada para cima, e a concavidade da figura à direita é voltada para baixo.

Portanto, na parábola à esquerda, a > 0; e, na parábola à direita, a < 0.

Além disso, o coeficiente a também é responsável pela “abertura” da parábola. Para perceber isso, considere dois pontos A e B, obtidos pela interseção de uma reta paralela ao eixo x e a parábola. Quanto maior o valor do módulo do coeficiente a, menor será a distância entre os pontos A e B, como mostra o exemplo da seguinte imagem:

Coeficiente C

O coeficiente C, em uma função do segundo grau, está relacionado ao ponto de encontro da parábola com o eixo y. Isso acontece porque qualquer ponto de encontro com o eixo y precisa necessariamente ter a coordenada x = 0. Por outro lado, se quisermos saber o ponto de encontro de uma função com o eixo x, a coordenada y é que deverá ser igual a 0.

Fazendo x igual a zero na forma geral das funções do segundo grau, o seguinte resultado será encontrado:

y = ax2 + bx + c

y = a02 + b0 + c

y = c

Assim, o par ordenado em que acontece o encontro entre parábola e o eixo y é: (0, c). Como os cálculos foram feitos para a forma geral das funções do segundo grau, então esse resultado é válido para todas elas.

Na função y = 2x2 – 4x + 1, por exemplo, o ponto de encontro entre o eixo y e a parábola é (0, 1), conforme mostra a imagem a seguir:

Valor do discriminante e do coeficiente A

O discriminante pode ser usado para encontrar as raízes de uma função e, para isso, basta fazer y = 0 e substituir os coeficientes da função na fórmula a seguir:

∆ = b2 – 4ac

É possível também descobrir quantas raízes reais a função possui apenas pelo resultado do discriminante. Para tanto, basta observar que:

Se ∆ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas.

Se ∆ = 0, a função possui apenas uma raiz real.

Se ∆ < 0, a função não possui raízes reais.

Dessa forma, podemos descobrir muito sobre a função tendo em mãos apenas esses conhecimentos. Como exemplo, note que, na função y = x2 – 4, o valor de ∆ é maior que zero, pois:

∆ = b2 – 4·a·c

∆ = – 4·1·(– 4)

∆ = 16

Nesse caso, o gráfico da função tocará o eixo x duas vezes.

Observe também que o coeficiente c = – 4. Portanto, o gráfico da função tocará o eixo y no ponto (0, – 4). Além disso, a concavidade da parábola dessa função é voltada para cima, assim, seu gráfico deve apresentar-se como na imagem a seguir:

Dessa maneira, com o conhecimento sobre os coeficientes, não é necessário fazer muitos cálculos para esboçar o seu respectivo gráfico. Assim, para que o esboço acima esteja completo, basta descobrir as raízes da função. Caso o coeficiente b seja diferente de zero, talvez seja necessário descobrir as coordenadas do vértice.

Definimos como função do 2º grau, ou função quadrática, a função R → R, ou seja, uma função em que o domínio e o contradomínio são iguais ao conjunto dos números reais, e que possui a lei de formação f(x) = ax² +bx +c.

O gráfico da função quadrática é sempre uma parábola e possui elementos importantes, que são:

• as raízes da função quadrática, calculadas pelo x’ e x”;
• o vértice da parábola, que pode ser encontrado a partir de fórmulas específicas.

Leia também: O que são domínio, contradomínio e imagem de uma função?

O que é uma função do 2º grau?

Uma função polinomial é conhecida como função do 2º grau, ou também como função quadrática, quando em sua lei de formação ela possui um polinômio de grau dois, ou seja, f(x) = ax² +bx +c, em que a, b e c são números reais, e a ≠ 0. Além da lei de formação, essa função possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, ou seja, f: R→ R.

Exemplos:

a) f(x) = 2x²+3x + 1

a = 2

b = 3

c=1

b) g(x) = -x² + 4

a = -1

b = 0

c = 4

c) h(x) = x² – x

a = 1

b = -1

c = 0

Para encontrar o valor numérico de qualquer função, conhecendo a sua lei de formação, basta realizarmos a substituição do valor de x para encontrar a imagem f(x).

Exemplos:

Dada a função f(x) = x² + 2x – 3, calcule:

a) f(0)
f(0) = 0² +2·0 – 3 = 0 + 0 – 3 = –3

b) f(1)
f(1) = 1² + 2·1 + 3  = 1+2 – 3 = 0

c) f(2)
f(2) = 2² + 2·2+3 = 4+4–3=5

d) f(-2) f(-2) = (-2)² + 2·(-2) – 3

f(-2) = 4  - 4 – 3 = –3

Veja também: Quais são as diferenças entre equação e função?

Raízes da função de 2º grau

Para encontrar as raízes da função quadrática, conhecidas também como zero da função, é necessário o domínio das equações do segundo grau. Para resolver uma equação do segundo grau, há vários métodos, como a fórmula de Bhaskara e a soma e produto.

A raízes de uma função quadrática são os valores de x que fazem com que f(x) = 0. Sendo assim, para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, faremos ax² + bx + c = 0.

Exemplo:

f(x) = x² +2x – 3

a = 1

b = 2

c = –3

Δ =b² – 4ac

Δ=2² – 4 ·1·(-3)

Δ=4 +12

Δ = 16

Então, os zeros da função são {1, -3}.

O valor do delta nos permite saber quantos zeros a função quadrática vai ter. Podemos separar em três casos:

• Δ > 0 → a função possui duas raízes reais distintas;
• Δ = 0 → a função possui uma única raiz real;
• Δ < 0 → a função não possui raiz real.

Gráfico de uma função do 2º grau

O gráfico de uma função do 2º grau é representado sempre por uma parábola. Existem duas possibilidades, dependendo do valor do coeficiente “a”: a concavidade da parábola pode ser para cima ou para baixo.

Se a > 0, a concavidade é para cima:

O ponto V representa o que conhecemos como vértice da parábola, que, nesse caso, é o ponto de mínimo, ou seja, o menor valor que f(x) pode assumir.

Se a < 0, a concavidade é para baixo:

Quando isso ocorre, perceba que, nesse caso, o vértice é o ponto de máximo da função, ou seja, maior valor que f(x) pode assumir.

Para fazer o esboço do gráfico, precisamos encontrar:

• os zeros da função;
• o ponto em que a função intercepta o eixo y;
• o ponto de máximo ou de mínimo da parábola, que conhecemos como vértice da parábola.

Veja também: Cinco passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau

Vértice da parábola

Como vimos anteriormente, o vértice da parábola é o ponto de mínimo ou de máximo do gráfico. Para encontrar o valor de x e y no vértice, utilizamos uma fórmula específica. Vale ressaltar que o vértice é um ponto V, logo ele possui coordenadas, representadas por xv e yv.

Para calcular o valor de V (xv, yv), utilizamos as fórmulas:

Exemplo:

Encontre o vértice da parábola f(x) = –x² +4x – 3.

a = -1.

b = 4.

c = -3

Calculando o Δ e aplicando a fórmula de Bhaskara, temos que:

Δ=b² – 4ac

Δ=4² – 4(-1) (-3)

Δ=16 – 12

 Δ=4

Representação gráfica de uma função do 2º grau

Para realizar o esboço do gráfico de uma função, é necessário encontrar três elementos: os zeros ou raízes da função, o vértice e o ponto em que a função toca o eixo y, conforme o exemplo a seguir.

Exemplo:

f(x) = x² – 6x + 8

1º passo: As raízes da função são os pontos em que a parábola toca o eixo x, logo queremos encontrar os pontos (x’, 0) e (x”,0).

Para isso faremos f(x) = 0, então temos que:

x² – 6x + 8=0

a= 1

b= -6

c = 8

Δ = b² -4ac

Δ = (-6)² -4·1·8

Δ = 36 – 32

Δ = 4

Já temos dois pontos para o gráfico, o ponto A(4,0) e o ponto B (2,0).

2º passo: encontrar o vértice da parábola.

Então o vértice da parábola é o ponto V(3, -1).

3º passo: encontrar o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

Para isso, basta calcular f(0):

f(x) =x² – 6x + 8

f(0) = 0² -6·0 + 8

f(0) = 8

Por fim, o ponto C (0,8) pertence ao gráfico.

4º passo: Agora que temos os pontos, vamos marcá-los no plano cartesiano e fazer o esboço do gráfico da parábola.

A(4,0)

B(2,0)

V(3,-1)

C(0,8)

Acesse também: Relação entre os coeficientes e o gráfico de uma função do segundo grau

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem 2013 – PPL) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x)= -x²+ 12x - 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo.

Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a:

A) 4 B) 6 C) 9 D) 10

E) 14

Resolução

Alternativa B.

Sabendo que a função lucro L(x) é uma função do 2º grau, a = -1, ou seja, o seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, queremos encontrar o ponto de máximo da função, ou seja, o vértice. Como x representa a quantidade de bonés, então a quantidade de bonés que maximiza o lucro é o xv.

b = 12

a = -1

Questão 2 – (Enem 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é

A) V = 10.000 + 50x – x². B) V = 10.000 + 50x + x². C) V = 15.000 – 50x – x². D) V = 15.000 + 50x – x².

E) V = 15.000 – 50x + x².

Resolução

Alternativa D.

Analisando a situação, com o combustível a R$ 1,50, são vendidos 10.000 litros, logo é faturado um total de:

10.000·1,50 = 15.000 → R$ 15.000,00.

É possível perceber que o valor arrecadado (V) é igual ao produto da quantidade Q pelo preço P.

V = Q . P

Quando se abaixa 1 centavo, a quantidade vendida aumenta em 100 litros, ou seja:

Q = 10.000 + 100x

Por outro lado, o preço terá o desconto de 1 centavo, o que podemos representar por:

P = 1,50 – 0,01x

Sendo assim, o valor é calculado por:

V = Q·P

V = (10.000 + 100x) ·(1,50 – 0,01x)

Aplicando a propriedade distributiva, temos que:

V = 15.000 – 100x + 150x – x²
V = 15.000 +50x – x²