Titik pada kurva x^2-y^2=2 yang terdekat ke titik (0 1) adalah

Soal yang Akan Dibahas

Titik $(a,b) $ pada kurva $ y = x^2 + 2 \, $ dan mempunyai jarak terdekat ke garis $ y = x \, $ , nilai $ a+ b \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 2\frac{1}{4} \, $ B). $ 2\frac{1}{2} \, $ C). $ 2\frac{3}{4} \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 3\frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Jarak dan Turunan *). Suatu fungsi $f(a) \, $ minimum pada saat $ a \, $ memenuhi $ f^\prime (a) = 0 $. *). Jarak titik $ (m,n) $ ke garis $ px+qy + c = 0 \, $ adalah Jarak $ = \left| \frac{p.m + q.n + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $ *). Definisi nilai mutlak :

$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x &, x < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan *). Ilustrasi gambar :

Titik $(a,b)$ terletak pada kurva $ y = x^2 + 2 \, $ , artinya bisa kita substitusikan, sehingga $ b = a^2 + 2 $, ini berarati titik $ A(a,b) = A(a, a^2 + 2) $. *). Jarak titik $ A(a,a^2+2) \, $ ke garis $ y = x \, $ atau $ x - y = 0 $ : $\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{p.m + q.n + c}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{a - (a^2 + 2)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{a - a^2 - 2}{\sqrt{2}} \right| \\ f(a) & = \frac{a^2 - a + 2)}{\sqrt{2}} \, \, \, \, \, \text{(turunannya)} \\ f^\prime (a) & = \frac{1)}{\sqrt{2}} (2a - 1) \end{align} $ *). Syarat agar nilai $ f(a) \, $ atau jaraknya minimum : $\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ \frac{1)}{\sqrt{2}} (2a - 1) & = 0 \\ a & = \frac{1}{2} \end{align} $ Artinya jaraknya akan minimum pada saat $ a = \frac{1}{2} $. Sehingga nilai $ b $ : $ b = a^2 + 2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 = \frac{9}{4} $. *). Menentukan nilai $ a + b $ : $\begin{align} a + b & = \frac{1}{2} + \frac{9}{4} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} \end{align} $

Jadi, nilai $ a + b = 2\frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Jarak titik (5, 1) ke kurva y = 2x2 adalah

Fungsi akan minimum ketika

Nilai x yang memenuhi adalah x – 1 = 0 maka x = 1

Maka jarak terdekat adalah

.