Tentukanlah data terkecil dan data terbesar dari kumpulan data ukuran sepatu yang terjual

You're Reading a Free Preview
Pages 8 to 11 are not shown in this preview.

You're Reading a Free Preview
Pages 15 to 28 are not shown in this preview.

You're Reading a Free Preview
Pages 32 to 40 are not shown in this preview.

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

Secara umum, data merupakan kumpulan dari fakta-fakta yang dapat digunakan sebagai penguat atau pertimbangan dari keputusan. Data biasanya digunakan untuk menganalisa, menggambarkan atau menjelaskan sesuatu keadaan sehingga menjadi informasi yang jelas dan bisa dipahami semua orang.

Data dapat diperoleh dengan beragam cara, dengan ukuran atau batasan yang berbeda-beda. Ukuran pemusatan data merupakan nilai statistik yang dapat menggambarkan keadaan suatu data.

Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data antara lain untuk membandingkan dua [populasi] atau contoh, dimana nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian rupa sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan. Terdapat 4 jenis ukuran dalam pemusatan data antara lain rata-rata atau mean, modus, median, dan kuartil.

Rata-rata atau mean adalah hasil bagi dari jumlah data dengan banyaknya data. Dimana, penggunaan  rata-rata atau mean ini untuk menggambarkan ukuran standar dari suatu data. Salah satu contohnya seorang guru di sekolah biasanya menggunakan rata-rata atau mean untuk mengetahui nilai rata-rata yang diperoleh dalam suatu kelas, sehingga dapat mengetahui gambaran kemampuan siswa di kelas tersebut.

Adapun rumus dari rata-rata atau mean ini adalah sebagai berikut :

Rata-rata [mean] = Jumlah semua data : Banyak data

[Baca juga: Tips Mudah Belajar Matematika]

Contoh Soal :

Diketahui data hasil ulangan matematika di kelas 8 disajikan dalam table frekuensi berikut ini dan tentukan rata-rata hasil ulangan matematika tersebut!

Penyelesaian :

Rata-rata = 50 x 5+60 x 6+70 x 10+80 x 3+90 X 4+100 x 2 : 5+6+10+3+4+2

= 250+360+700+240+360+200 : 30 = 2110/30

= 70,33

Jadi rata-rata hasil ulangan matematika di kelas 8 adalah 70,33

Modus adalah nilai yang sering muncul pada suatu data atau yang memiliki frekuensi terbanyak. Suatu data dapat tidak memiliki modus yaitu jika setiap data memiliki banyak kemunculan yang sama. Suatu data juga dapat memiliki modus lebih dari satu yang disebut dengan multimodal.

Contoh soal menentukan modus data :

Diketahui data : 6, 8, 7, 9, 6, 7, 7, 9, 8, 8, 6, 6, 6

Tentukan modus dari data tunggal tersebut!

Penyelesaian :

• Angka 6 muncul sebanyak 4 kali
• Angka 7 muncul sebanyak 3 kali
• Angka 8 muncul sebanyak 3 kali
• Angka 9 muncul sebanyak 2 kali

Sehingga modus dari data tersebut adalah angka 6

Median adalah nilai tengah yang diambil dari suatu data terurut. Media bisa ditentukan dengan mengurutkan data terlebih dahulu dari data terkecil hingga terbesar atau sebaliknya. Berikut langkah-langkah yang dapat memudahkan dalam menentukan media data :

• Urutkan semua data dalam urutan turun atau naik
• Tentukan banyak data dan misalkan dengan “n”
• Jika “n” ganjil maka bisa menggunakan rumus Median = data ke-[n+1]/2
• Jika “n” genap, maka bisa menggunakan rumus Median = Data ke-[n/2] + data ke-[n/2+1] :2

Contoh soal Median :

Tabel di bawah ini merupakan hasil nilai ulangan matematika kelas di sekolah SD Nusa bakti. Tentukan median data tersebut!

Penyelesaian :

Median didapatkan dengan cara mengurutkan data dari yang nilai terkecil hingga terbesar.

60,60,60,60,60,60,60,60,60,60,60,60,60,70,70,70,70,70,70,70,70,70,70,80,80,80,80,80,90,90

Karena banyak data genap yaitu 30 maka menggunakan rumus berikut ini :

Median = Data ke-15 + data ke-16/2

Median = 70 + 70 / 2 = 70

Sehingga median nilai ulangan matematika kelas empat SD Nusa Bakti yaitu 70.

Kuartil adalah pengelompokan data menjadi empat bagian sama banyak. Ukuran kuartil ada 3 macam yaitu kuartil bawah [Q1], kuartil tengah [Q2] dan kuartil atas [Q3]. Adapun cara dalam menentukan kuartil adalah sebagai berikut :

• Urutkan data dari yang terkecil hingga data terbesar
• Tentukan Q2 atau median
• Tentukan Q1 dengan cara membagi data dibawah Q2 menjadi dua bagian yang sama besar
• Tentukan Q3 dengan cara membagi data di atas Q2 menjadi dua bagian yang sama besar.

Diketahui data sebagai berikut :

6,6,4,5,9,8,6,5,9,7,8,5,6,5,7,7,4,5,9,6.

Tentukan kuartil bawah Q1 dan kuartal ke atas [q3] dari data tersebut:

Langkah 1 : Urutan data dari terkecil hingga terbesar : 4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9

Langkah 2 : Tentukan nilai Q2 atau median, Median = Data ke-10 + data ke-11/2 =  6+6/2 = 6

Langkah 3 : Menentukan Q1 dengan membagi dua sama banyak data dibawah Q2.

Q3 = Data ke-5 + data ke-6/2 = 5+5/2 = 5

Langkah 4 : menentukan Q3 dengan membagi dua sama banyak data diatas Q2, seperti :

Q3= data ke 10 + data ke 11/2 = 7+8/2 = 7,5

Kalian bisa membuat kelompok hasil perkalian di atas dengan mengelompokkanke dalam kelas-kelas dengan panjang kelas 10. Sebagai contoh, kelas pertama adalahkelas 0-9, kelas kedua: 10-19, kelas ketiga: 20-29, dan seterusnya sampai kelas: 140-149. a. Buatlah tabel frekuensi dengan panjang kelas 10. b. Lalu gambarlah histogramnya. c. Menurut kalian, apakah hasil kali tersebut akan terdistribusi merata ke setiap kelas yang panjang kelasnya 10? Atau apakah ada kelas tertentu yang memiliki hasil kali lebih banyak dari kelas lainnya? d. Sekarang buatlah histogram lainnya dengan panjang kelas 20, dimulai dari 0-19, 20-39, 40-59, dan seterusnya. e. Jelaskanlah persamaan dan perbedaan dari kedua histogram yang kalian hasilkan.2. Dari sebuah survei terhadap siswa SMP mengenai berapa banyak waktu yang mereka habiskan bersama orang tua mereka di akhir pekan, diperoleh hasil survei sebagai berikut. Tabel 7.3 Waktu yang Dihabiskan Siswa di Akhir Pekan Waktu yang Dihabiskan Siswa Laki-Laki Siswa PerempuanBersama Keluarga di Akhir [persen] [persen] Pekan 40,5 49,6 18,6 21,8Sepanjang Sabtu dan Minggu 15,8 17,1 25,1 11,5Hanya di salah satu hari saja Hanya ½ hari saja Kurang dari ½ hari Jika kalian ingin membandingkan hasil survei siswa laki-laki dengan hasil surveisiswa perempuan, kalian bisa menampilkannya dalam 2 buah diagram lingkaran. Bab 7 | Statistika 183Waktu yang Dihabiskan Bersama Keluarga di Akhir Pekan Siswa Laki-laki Siswa Perempuan 25,1% 11,5% Kurang dari Kurang dari 1/2 hari 1/2 hari 40.5% 17,1% 49,6% Sepanjang Hanya 1/2 hari Sepanjang Sabtu-Minggu Sabtu-Minggu 21,8% 15,8% 18,6% Hanya 1 hariHanya 1/2 Hanya 1 hari saja hari sajaGambar 7.6 Perbandingan Diagram Lingkaran Siswa Laki-Laki dan Perempuan Ayo Berpikir KritisPersentasea. Mengapa data yang ditampilkan dalam bentuk persentase?b. Kalian juga bisa menampilkan data-data di atas dalam grafik batang ganda, di mana dalam setiap kategori memiliki 2 batang, yang satu menunjukkan persentase banyaknya siswa laki-laki di kategori tersebut dan yang lainnya menunjukkan persentase siswa perempuan. Lengkapilah diagram batang berikut. Waktu yang Dihabiskan Bersama Keluarga di Akhir Pekan 50 40 Siswa Laki-laki Perempuan 30 20 10 Sepanjang Hanya 1 hari Hanya 1/2 hari Kurang dari 1/2 hari Sabtu Minggu Gambar 7.7 Diagram Batang Ganda Waktu Akhir Pekan Siswa184 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAyo Bernalar Dengan memilih representasi grafik yang tepat, akan memudahkan kita dalam membandingkan 2 kelompok data. c. Menurut kalian, diagram manakah yang lebih mudah digunakan untuk membandingkan 2 kelompok data? Berikan alasan dari pilihanmu.3. Dani sering bermain games online sehingga nilai kuis matematikanya jelek. Orang tua Dani melarang Dani untuk bermain games online sampai hasil nilai kuis matematika Dani berubah secara signifikan. Guru matematika Dani setiap minggu memberikan kuis matematika dengan nilai tertinggi 100. Dani membuat grafik batang untuk menunjukkan kepada orang tuanya bahwa nilai kuisnya sudah membaik dalam 5 minggu terakhir. Ayo Berpikir Kritis a. Panjang batang nilai kuis 5 Dani tiga kali lebih tinggi dari panjang batang nilai kuis 1-nya. Apakah nilai kuis 5-nya tiga kali dari nilai kuis 1-nya? b. Orang tua Dani mengatakan bahwa grafik batang yang dibuat Dani menyesatkan karena dari grafik ini terlihat ada perbaikan signifikan dari nilai kuis Dani dibandingkan dengan kenyataannya. Hal manakah pada grafik ini yang menyebabkan grafik ini memberikan kesimpulan yang salah? Gambar 7.8 Diagram Batang Buatan Dani Bab 7 | Statistika 185Penguatan Karakter c. Buatlah diagram batang yang baru yang dapat memberikan hasil yang lebih akurat dan menggambarkan performa Dani yang sebenarnya di kuis matematika mingguan. Dalam subbab ini, kalian sudah belajar mengenai diagram batang dan histogram. Selain itu, kalian juga telah mengenal frekuensi dan frekuensi relatif dalam diagram batang dan histogram. a. Apa saja perbedaan diagram batang dengan histogram? b. Kapan kita sebaiknya menggunakan frekuensi relatif daripada frekuensi?C. Ukuran Pemusatan1. Modus dan MedianModus dan median adalah dua ukuran pemusatan untuk melihat kecenderungankumpulan data. Median adalah nilai data yang berada tepat di tengah ketika seluruh datadiurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Untuk mencari letak median,bagilah banyaknya data dengan 2.• Jika hasilnya adalah bilangan bulat, m, maka median terletak di tengah-tengah antara urutan ke-m dan ke-[m + 1].• Jika hasil baginya bukan merupakan bilangan bulat, bulatkanlah hasilnya ke atas, maka median terletak di urutan sesuai hasil pembulatan. Modus dari sebuah kumpulan data adalah data yang paling sering muncul ataumemiliki frekuensi paling besar. Kedua ukuran pemusatan ini memiliki keuntungan,yaitu tidak terpengaruh jika kumpulan data memiliki data pencilan atau data yangberbeda dari kumpulan datanya.Selain modus dan median, kalian bisa melihat rentang dari kumpulan data melaluirange atau jangkauan. Jangkauan adalah selisih antara data terkecil dengan dataterbesar.186 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XEksplorasi 7.3 Line Plot Ayo BereksplorasiBasket merupakan olahraga yang digandrungi banyak siswa SMA/MA, khususnyapria. Untuk dapat bermain basket, kalian perlu menggunakan sepatu olahraga.Berikut adalah data penjualan sepatu olahraga di toko A yang terdiri dari beberapamerek dan ukuran pada akhir pekan pertama bulan Januari. Tabel 7.4 Data Penjualan Sepatu di Toko ANo Merek Ukuran No Merek Ukuran 1A 43 14 A 44 2B 44 15 C 40 3C 38 16 D 41 4A 43 17 B 42 5C 44 18 D 43 6D 42 19 E 42 7A 42 20 A 40 8A 39 21 A 45 9B 43 22 C 4110 E 43 23 A 4111 C 44 24 A 4212 E 45 25 C 4313 B 44a. Buatlah diagram line plot untuk menunjukkan ukuran sepatu yang terjual pada akhir pekan pertama bulan Januari. Diagram line plot adalah sebuah garis bilangan dengan banyaknya tanda X yang menunjukkan banyaknya data yang muncul dengan nilai tertentu. Sebagai contoh, 45 muncul tiga kali. Jadi, kalian tuliskan tanda X di atas angka 45. Bab 7 | Statistika 187xx 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Gambar 7.9 Line Plot Ukuran Sepatu b. Jelaskan bentuk dari line plot yang kamu hasilkan. Bagaimana bentuk line plot ini bisa menjelaskan distribusi data ukuran sepatu di atas? Ketika kalian mendeskripsikan sebuah kumpulan data, biasanya kalian juga perlumenentukan data terkecil dan data terbesar dari kumpulan data tersebut. c. Tentukanlah data terkecil dan data terbesar dari kumpulan data ukuran sepatu yang terjual. d. Bagaimana kalian dapat menemukan data terkecil dan data terbesar dengan melihat diagram line plot? e. Tentukanlah jangkauan dari data ukuran sepatu pada Tabel 7.4. f. Tentukanlah modus dari data ukuran sepatu pada Tabel 7.4. g. Bagaimana kalian bisa menentukan modus sekumpulan data dari diagram line plot? h. Urutkanlah data ukuran sepatu di atas dari yang terkecil sampai yang terbesar, lalu tentukanlah mediannya. i. Bagaimana kalian dapat menentukan median dari sekumpulan data dengan melihat diagram line plot? Ayo Berdiskusi Jika terjadi penambahan data baru, bagaimana modus, median, dan jangkauan akan terpengaruh? j. Ternyata ada data penjualan di toko sepatu A yang tertinggal. Data-data tersebut adalah 41, 43, 44, 44, dan 46. Berapakah nilai dari jangkauannya sekarang? Berapakah modusnya sekarang?188 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAyo BerdiskusiBagaimana perbedaan mencari median pada kelompok denganbanyaknya data ganjil dan genap?k. Ketika banyaknya data adalah bilangan genap, maka tidak ada data yang diambil sebagai median tunggal. Dalam hal ini, median diambil dari nilai tengah di antara dua nilai data yang berada di tengah. Carilah median dari kumpulan data yang baru.2. Mean [Rerata atau Rata-Rata]Rerata atau mean adalah ukuran pemusatan lain selain median dan modus. Meandari sebuah kumpulan data adalah bilangan yang diperoleh dengan mendistribusikansecara merata ke seluruh anggota dari kumpulan data. Kalian bisa menghitung meandengan cara menambahkan seluruh nilai data dan membagi dengan total banyaknyadata.Atau jika ditulis dalam bentuk formula: di mana: adalah mean, dibaca bar. menyatakan jumlah total data danmenunjukkan banyaknya data.Eksplorasi 7.4 Mean Ayo BereksplorasiOSIS Sekolah A yang beranggotakan 10 orang akan melakukan aksi sosial untukmembantu para korban bencana alam. Mereka sepakat untuk mengumpulkan pakaianbekas layak pakai untuk membantu para korban bencana alam. Adapun jumlah bajuyang dikumpulkan setiap pengurus OSIS adalah sebagai berikut. 3 5 7 10 5 3 4 6 9 8 a. Tentukanlah nilai mean, median, dan modus dari jumlah baju yang dikumpulkan oleh para pengurus tersebut. Bab 7 | Statistika 189Ayo Berdiskusi Bagaimana penambahan data berpengaruh terhadap ukuran pemusatan? b. Keesokan harinya, ada dua siswa yang bukan pengurus OSIS, namun mereka terinspirasi dengan aksi sosial yang dilakukan oleh para pengurus OSIS. Mereka langsung ikut menyumbangkan baju layak pakai sebanyak 20 dan 22 buah. Tentukan mean, median, dan modus dari kumpulan data yang baru.3. Penggunaan Ukuran PemusatanSetelah kalian mempelajari cara menentukan mean, median, dan modus, maka halyang juga penting adalah mengetahui karakteristik dari setiap ukuran pemusatan ini,agar kita dapat memilih ukuran pemusatan mana yang paling tepat sesuai dengankonteks permasalahan.Eksplorasi 7.5 Ayo BereksplorasiMasih dari kisah para pengurus OSIS Sekolah A sebelumnya. Bagaimana hasilpengamatan kalian setelah membandingkan mean, median, dan modus datasumbangan 10 pengurus OSIS dengan mean, modus dan median data sumbanganke-12 siswa? Di antara mean, median, dan modus, manakah nilai yang tetap? Manakah nilaiyang berubah? Jelaskan! Ayo Berdiskusi Cobalah berpikir ekstrem dengan mengganti 1 data dengan nilai yang sangat berbeda, lalu amati perubahannya. Bagaimana jika seandainya siswa ke-12 bukan menyumbang 22 buah, namunmenyumbang 100 pakaian. Menurut kalian, tanpa menghitung dulu mean, median,dan modus yang baru, manakah di antara mean, median, dan modus yang nilainyaberubah? Manakah yang nilainya tetap? Jelaskan!190 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XSekarang cobalah kalian menghitung mean, median, dan modus yang baru.Apakah analisis kalian di atas sudah benar?Modus Digunakan ketika jenis data adalah data kualitatif, atau jenis data kuantitatif yang memiliki 1 modus atau 2 modus [bimodal].Median Digunakan untuk jenis data kuantitatif. Biasanya median digunakan ketika ada data yang memiliki nilai yang ekstrem [pencilan], sehingga data ekstrem tersebut tidak memiliki dampak yang besar seperti pada mean.Mean Digunakan untuk jenis data kuantitatif dan menggunakan seluruh data. Namun, mean terpengaruh oleh data dengan nilai yang ekstrem.a. Mean/Rata-Rata Data KelompokData penjualan sepatu di toko A pada Tabel 7.4 merupakan kumpulan data tunggal.Kalian dapat mengelompokkan data-data ini menjadi data kelompok dengan panjangkelas sama dengan 2 sehingga menjadi tabel frekuensi data kelompok sebagai berikut.Tabel 7.5 Distribusi Frekuensi Data Kelompok Penjualan Sepatu di Toko A Ukuran 37-39 40-42 43-45 46-48Frekuensi 2 11 16 1 Cara menghitung rata-rata dari data kelompok di atas adalah menggunakan nilaitengah dari tiap kelompok. Data tunggal dalam kelompok diasumsikan tersebar secaramerata, sehingga nilai tengah dari setiap kelompok dapat diasumsikan mewakilikelompok tersebut. Nilai tengah kelompok 37-39 adalah 38, Nilai tengah kelompok 40-42 adalah 41,Nilai tengah kelompok 43-45 adalah 44, dan Nilai tengah kelompok 46-48 adalah 47. Rata-rata dari kelompok di atas: Bab 7 | Statistika 191Ayo BerdiskusiBagaimana rata-rata data tunggal dibandingkan dengan rata-rata datakelompok? Apakah masih bisa merepresentasikan kelompok data? Bandingkanlah hasil rata-rata data kelompok ini dengan hasil rata-rata datatunggal dari penjualan sepatu di toko A. Apakah menurut kalian, kedua hasil rata-rata masih cukup dekat?Latihan 7.31. Jika data penjualan sepatu di toko A pada Tabel 7.4 kita ubah menjadi tabel Frekuensi data tunggal sebagai berikut: Tabel 7.6 Tabel Frekuensi Data Tunggal Penjualan Sepatu di Toko AUkuran 38 39 40 41 42 43 44 45 46 1Frekuensi 1 1 2 4 5 7 7 2a. Tentukanlah modus, median, dan mean dari kumpulan data di atas. Problem Solving Mengambil keputusan berdasarkan data. b. Untuk menentukan rencana pemesanan sepatu bulan depan, jelaskan mengapa pemilik toko sebaiknya menggunakan modus.2. Data berikut menunjukkan jumlah kue yang dijual melalui situs online setiap harinya: 03 2 7 4 2 3 0 4 0 6 5 5 2 4 0 a. Tentukanlah modus dan median dari data di atas. b. Menurutmu, ukuran pemusatan manakah yang lebih untuk data di atas, modus atau median? Jelaskan!192 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAyo Berpikir Kreatif3. Buatlah kumpulan data dengan banyaknya data, ada sebanyak 13 buah dan memenuhi kondisi: • Data terkecil = 3 • Data terbesar = 13 • Modus = 4, dan • Median = 84. Dari 2 kelas siswa SD di sekolah “Pancasila” diperoleh data tinggi siswa [dalam cm] sebagai berikut: • Kelas A: 117, 117, 119, 122, 127, 127, 114, 137, 99, 107, 114, 127, 122, 114, 120, 125, 119 • Kelas B: 130, 147, 137, 142, 140, 135, 135, 142, 142, 137, 135, 132, 135, 120, 119, 125, 142 a. Untuk masing-masing kelas, buatlah grafik line plot. b. Tentukanlah range, modus, dan median dari setiap kelas. c. Kedua kelas berasal dari tingkat yang berbeda. Kelas manakah menurut kalian yang memiliki tingkat yang lebih tinggi? d. Berapa persen siswa dari kelas B yang memiliki tinggi sama atau lebih tinggi dari median tinggi badan siswa kelas A?5. Pernahkah kalian mendengar bahwa Indonesia adalah salah satu paru-paru dunia? Hutan tropis di Indonesia memiliki peranan yang sangat penting untuk memberikan sumbangan terhadap lingkungan dunia. Pohon Borneo adalah salah satu jenis pohon yang banyak ditemukan di hutan Kalimantan.Tabel 7.7 Tabel Frekuensi Data Kelompok Diameter Pohon Borneo di Daerah ADiameter Pohon Borneo [cm] 19-21 22-24 25-27 28-30 Frekuensi 4 17 25 14a. Tentukanlah kelas modus.b. Prediksi nilai mean dari data kelompok di atas.c. Tentukan kelas median. Bab 7 | Statistika 193Dalam subbab ini, kalian sudah belajar mengenai ukuran pemusatan:mean, median, dan modus. Kalian juga telah menentukan manakah ukuranpemusatan yang sesuai.a. Ukuran pemusatan manakah yang terpengaruh dengan pencilan? Manakah yang tidak terpengaruh pencilan?b. Saat data tunggal dikelompokkan, lalu kalian menghitung mean data tunggal dan mean data kelompok, bagaimana hasil dari kedua mean tersebut? Apakah berbeda jauh atau berbeda sedikit?b. Median dan Kelas Modus Data KelompokEksplorasi 7.6 Membandingkan Modus dan Median Data Tunggaldengan Data KelompokAyo BereksplorasiKita masih akan menggunakan data penjualan sepatu di toko A pada Tabel 7.5 yangmerupakan Tabel Distribusi Data Kelompok. Sekarang, mari kita bandingkan modus. Pada data tunggal, kelompok data inimemiliki dua modus atau disebut bimodal, yaitu 43 dan 44 karena kedua data tersebutmemiliki frekuensi yang paling tinggi yaitu 7. Pada data kelompok, kita dapat melihat bahwa kelas modus adalah kelas 43-45 yaitu dengan frekuensi 16. Jadi, walaupun data tunggal diubah ke dalam datakelompok, ternyata kelas modus tetap dapat memberikan gambaran estimasi di manadata modus berada.Bagaimana dengan median?Untuk data tunggal, karena jumlah data ada sebanyak 30 data, maka karena 30dibagi 2 adalah 15, sehingga median terletak di antara data ke-15 dan data ke-16. Datayang terletak di urutan ke-15 adalah 43 dan data di urutan ke-16 adalah 43. Makamedian dari kelompok data tunggal adalah = 43. Untuk mencari median dari data kelompok, kita akan menggunakan interpolasi.Bagaimana interpolasi bekerja? Pertama, tentukan dahulu kelas median. Karena194 Matematika untuk SMA/SMK Kelas Xjumlah data sebanyak 30, maka data median berada di urutan ke × 30 = 15. Datake-15 berada di kelas 43-45. Tepi bawah kelas 43-45 adalah 42,5 dan tepi atasnya adalah 45,5. Setelah itukalian perlu menentukan banyaknya data yang nilainya di bawah 42,5 dan 45,5. Banyaknya data yang nilainya di bawah 42,5 yaitu banyaknya data di kelas 37-39dan kelas 40-42 yaitu ada sebanyak 2 + 11 = 13. Banyaknya data yang nilainya di bawah 45,5 yaitu banyaknya data di kelas 37-39,kelas 40-42 dan kelas 43-45 yaitu ada sebanyak 2 + 11 + 16 = 29. Semua data yang diperoleh, diletakkan dalam garis bilangan berikut: Bilangan di atas garis merupakan tepi bawah dan tepi atas dari kelas median.Bilangan di bawah garis merupakan banyaknya data yang terletak di bawah 42,5, dibawah urutan median, dan di bawah 45,5. Lalu, kalian tinggal membandingkan selisih dari bilangan-bilangan yang adapada garis bilangan tersebut: Ternyata median dari data berkelompok, yaitu 42,875 tidak jauh berbeda denganmedian dari data tunggal, yaitu 43. Jadi, walaupun data dikelompokkan, median datakelompok dapat tetap mewakili median dari data tunggal.D. Ukuran Penempatan [Measure of Location]1. Kuartil Data TunggalSebelumnya kalian telah mempelajari mengenai median. Median membagi kumpulandata yang telah diurutkan menjadi 2 sama besar [50%]. Kalian bisa menentukanukuran penempatan lainnya seperti kuartil dan persentil. Bab 7 | Statistika 195Kuartil Bawah berada ini adalah median Kuartil Atas berada di urutan 25% dari di urutan 75% dari kelompok data kelompok data Nilai NilaiPersentil membagi data minimum Q1 Q2 Q3 maksimum 85% data beradamenjadi 100 bagianyang sama. di bawah P85 atauP10 atau Persentil ke 10 Persentil ke 85 danberada di urutan 10%dari kelompok data 25% 25% 25% 25% 15% data berada di atas P85 10% 85% Gambar 7.10 Letak Kuartil dan Persentil dalam Kelompok Data Serupa dengan mencari letak median, maka untuk mencari letak kuartil bawahatau Q₁, bagilah banyaknya data dengan 4.• Jika hasilnya adalah bilangan bulat, m, maka Q₁ terletak di tengah-tengah antara urutan ke-m dan ke-[m + 1].• Tetapi jika hasil baginya bukan merupakan bilangan bulat, bulatkanlah hasilnya ke atas, maka Q₂ terletak di urutan sesuai hasil pembulatan. Misalkan jika banyaknya data ada 20 buah, di manakah letak median? Dimanakah letak Q₁? Untuk median, 20 dibagi 2 = 10, maka median terletak di antara data urutan ke-10 dan ke-11.Untuk Q₁, 20 dibagi 4 = 5, maka Q₁ terletak di antara data urutan ke-5 dan ke-6.Agar lebih jelas, kalian dapat melihat ilustrasi berikut. median Q1 Q2 5 data5 data 10 datadata data data 20 data datake-1 ke-5 ke-6 ke-20 data data ke-10 ke-11 Gambar 7.11 Letak Q₁ dan Q₂ dalam Kelompok Data n = 20 Dari ilustrasi di atas, kalian bisa melihat bahwa Median = Q₂, yaitu membagikumpulan data menjadi 2 sama besar yaitu, 10 data di sebelah kiri dan 10 data disebelah kanan.196 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XSedangkan Q₁ membagi dua ke-10 data yang berada di sebelah kiri menjadimasing-masing sebanyak 5 data. Ayo Mencoba Nah, bisakah kalian mencari di mana letak Q₃ atau kuartil atas agar dia membagike-10 data di sebelah kanan Q₂ sama banyak?Benar sekali, Q₃ terletak di antara data ke-15 dan ke-16. median Q1 Q2 Q2 5 data 5 data 5 data 5 data 20 datadata data data datake-1 ke-15 ke-16 ke-20 Gambar 7.12 Letak Kuartil dalam Kelompok Data n = 20 Dari ilustrasi di atas, kalian dapat melihat bahwa Q₁, Q₂ dan Q₃ membagikumpulan data menjadi 4 bagian yang sama besar, yaitu masing-masing terdiri dari5 data. Atau dapat dikatakan bahwa di antara Q₁ dan Q₂ terdapat 25% data. Demikianjuga di antara Q₂ dan Q₃ terdapat 25% data. Bisakah kalian menentukan rumus untuk mencari Q₃? Coba pikirkan dulusejenak. Serupa dengan mencari letak median, maka untuk mencari letak kuartil bawahatau Q₁, bagilah banyaknya data dengan 4.• Jika hasilnya adalah bilangan bulat, m, maka Q₁ terletak di tengah-tengah antara urutan ke-m dan ke-[m + 1].• Tapi jika hasil baginya bukan merupakan bilangan bulat, bulatkanlah hasilnya ke atas, maka Q₂ terletak di urutan sesuai hasil pembulatan. Misalkan jika banyaknya data ada sebanyak 20 buah, di manakah letak median?Di manakah letak Q₁? Bab 7 | Statistika 197Benar, serupa dengan mencari letak median dan Q₁, maka untuk mencari letakkuartil bawah atau Q₃ adalah dengan mengalikan banyaknya data dengan .• Jika hasilnya adalah bilangan bulat m, maka Q₃ terletak di tengah-tengah antara urutan ke-m dan ke-[m + 1].• Tapi jika hasil baginya bukan merupakan bilangan bulat, bulatkanlah hasilnya ke atas, maka Q₃ terletak di urutan sesuai hasil pembulatan. Jika banyaknya data ada 20 buah, maka × 20 = 15. Karena 15 merupakanbilangan bulat, maka letak Q₃ ada di antara data ke-15 dan ke-16.Bandingkan hasilnya dengan ilustrasi di atas. Apakah sama atau berbeda? Ayo MencobaCarilah Q₁, Q₂ dan Q₃ dari data penjualan sepatu pada Tabel 7.6.2. Kuartil Data KelompokSama seperti menentukan median [Q₂] dalam data kelompok, menentukan Q₁ danQ₃ juga menggunakan cara yang sama, yaitu dengan cara interpolasi.Dalam data kelompok, letak Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah sebagai berikut: Kelompok data ditampilkan dalam tabel frekuensi kumulatif, lalu letak kuartiladalah sebagai berikut:• Q₁ = data ke dari total data• Q₂ = data ke dari total data• Q₃ = data ke dari total dataMari kita gunakan contoh penjualan sepatu di toko A pada Tabel 7.5.Karena total data ada sebanyak 30 buah, maka letak Q₁ ada di data ke × 30 = 7,5 Pada tabel, data ke 7,5 terletak pada kelas 40-42. Masihkah kalian ingat metodeinterpolasi?Tepi bawah kelas 40-42 adalah 39,5 dan tepi atas kelas 40-42 adalah 42,5.Banyaknya data yang berada sebelum 39,5 ada sebanyak 2 buah.Banyaknya data yang berada sebelum 42,5 ada sebanyak 13 buah.Tempatkan angka-angka tersebut dalam garis bilangan sebagai berikut.198 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XQ₁ = 41, artinya 25% dari sepatu yang terjual memiliki ukuran lebih kecil samadengan 41, atau ukuran 38, 39, 40, dan 41.Sebanyak 75% sepatu yang terjual merupakan sepatu dengan ukuran di atas 41. Ayo Mencoba Carilah Q₃ dari data berkelompok penjualan sepatu di toko A pada Tabel 7.5.Bandingkanlah hasil Q₁ dan Q₃ dari data berkelompok dengan Q₁ dan Q₃ dari datatunggal. Jelaskan! Jadi, saat menghitung kuartil, pastikan terlebih dahulu apakah data yang kalianakan hitung adalah data tunggal atau data kelompok agar metode yang dipilih lebihtepat.3. Persentil Data KelompokSebelumnya kalian telah mempelajari bahwa kuartil membagi data menjadi 4 bagiansama besar. Ukuran penempatan yang lain adalah persentil. Hanya saja persentilmembagi data menjadi 100 bagian sama besar. Persentil ke-10 ditulis dengan simbolP₁₀ artinya sebelum P₁₀ terdapat 10% data dan sesudah P₁₀ terdapat 90% data. Cara menentukan persentil dalam data kelompok, sama dengan cara menentukankuartil dalam data kelompok. yaitu dengan cara interpolasi. Bab 7 | Statistika 199Kelompok data ditampilkan dalam tabel frekuensi kumulatif, lalu letak persentiladalah sebagai berikut:• P₁₀ = data ke dari total data• P₈₅ = data ke dari total dataEksplorasi 7.7Ayo BereksplorasiMari kita lihat data berikut. Data berikut menampilkan lamanya waktu yangdiperlukan ketika seseorang mengurus KTP di kelurahan M selama 1 minggu.Waktu yang diperlukan, t [menit] 20–29 30–39 40–49 50–59 60–69Frekuensi 6 10 18 13 2a. Hitunglah P₆₅. Ayo Berpikir Kritis Ketika kita melihat pengumuman atau klaim dari seseorang atau siapa pun, ada baiknya kita mempertanyakan dasar dari klaim atau pengumuman tersebut, tidak begitu saja menerimanya tanpa data pendukung. Kehati-hatian ini menjadi bekal yang sangat penting saat menghadapi berbagai masalah.b. Di papan pengumuman kantor kelurahan tertulis poster sebagai berikut: Untuk pengurusan KTP Hanya 10% dari warga yang perlu menunggu lebih dari 56 menit Dengan menghitung persentil yang sesuai, berikan komentarmu tentang benaratau tidaknya isi dari poster tersebut.Solusia. Karena data di atas merupakan data kelompok, maka kita akan menggunakan interpolasi untuk menemukan persentil ke-65.200 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPertama kita tentukan dulu letak P₆₅. Total frekuensi ada sebanyak 49 buah.• P₆₅ terletak pada data ke × 49 = 31,85• Jadi P₆₅ ada di kelas dengan interval 40–49.Tepi bawah kelas 40–49 adalah 39,5 dan tepi atas kelas 40–49 adalah 49,5.Banyaknya data sebelum 39,5 ada sebanyak 16 data.Banyaknya data sebelum 49,5 ada sebanyak 34 data.Tempatkan angka-angka tersebut dalam garis bilangan sebagai berikut:Lalu kita gunakan interpolasi: P₆₅ = 48,31 artinya 65% warga menunggu kurang dari 48,31 menit atau 35%warga menunggu lebih dari 46,31 menit.b. Untuk menentukan apakah isi poster tersebut benar atau tidak, maka kalian perlu mencari Persentil ke-90.Pertama kita tentukan dulu letak P₉₀.• P₉₀ terletak pada data ke × 49 = 44,1• Data ke-44,1 terletak pada kelas 50–59• Jadi P₉₀ ada di kelas 50–59.Kelas 50–59 memiliki tepi bawah = 49,5 dan tepi atas = 59,5.Banyaknya data sebelum 49,5 ada sebanyak 34 data.Banyaknya data sebelum 59,5 ada sebanyak 47 data.Tempatkan angka-angka tersebut dalam garis bilangan sebagai berikut: Bab 7 | Statistika 201Lalu, kita kembali menggunakan interpolasi: Interpretasi dari hasil P₉₀ = 57,3 artinya 90% warga menunggu pengurusan KTPsampai 57,3 menit dan ada 10% warga yang menunggu lebih dari 57,3 menit. Jadiisi poster yang menyebutkan bahwa hanya 10% warga yang menunggu lebih dari 56menit tidak tepat. Karena pasti lebih dari 10% warga yang menunggu lebih dari 56menit. Alternatif lain, kalian bisa mencari banyaknya warga yang menunggu lebih dari56 menit.Data 56 menit berada di kelas 50–59.Tepi bawah dan tepi atas kelas 50–59 adalah 49,5 dan 59,5.Banyaknya data sebelum 49,5 ada sebanyak 34 data.Banyaknya data sebelum 59,5 ada sebanyak 47 data.Tempatkan angka-angka tersebut dalam garis bilangan sebagai berikut:202 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XSama seperti sebelumnya, kita kembali menggunakan metode interpolasi:Setelah mendapatkan hasil di atas kita coba interpretasikan hasilnya.Total data = 49.42,45 warga menunggu pengurusan KTP kurang dari 56 menit.Banyaknya warga menunggu pengurusan KTP lebih dari 56 menit = 49 – 42,45 = 6,55Persentase warga yang menunggu lebih dari 56 menit = Jadi, klaim kantor kelurahan bahwa hanya 10% warga yang menunggu lebih dari56 menit tidak benar.Latihan 7.41. Secara geografis Indonesia dilalui oleh garis khatulistiwa sehingga hanya terdapat 2 musim, yaitu musim panas dan musim hujan. Oleh karena itu, sangat penting bagi kita untuk memahami faktor penting apa saja yang ada pada kedua musim tersebut agar kita dapat mempersiapkan diri dengan lebih baik dalam usaha hidup berdamai dengan alam. Salah satu faktor yang penting yang menentukan musim adalah faktor curah hujan. Curah hujan adalah jumlah air hujan yang turun pada suatu daerah dalam kurun waktu tertentu. Dengan kata lain, curah hujan adalah volume air hujan yang terkumpul dalam bidang datar dalam periode tertentu. Bab 7 | Statistika 203Biasanya curah hujan dinyatakan dalam satuan milimeter. Data curah hujan yangditampilkan adalah ketinggian air hujan yang terkumpul di tempat datar seluas 1meter persegi. Jadi, jika curah hujan sebesar 1 mm artinya volume air hujan yangterkumpul pada tempat datar seluas 1 meter persegi ada sebanyak 1 liter. Padaumumnya curah hujan dikategorikan menjadi 3 kategori, yaitu rendah [0-100mm], menengah [100-300 mm] dan tinggi [300-500 mm].Perhatikan data curah hujan di Kota Samarinda sepanjang tahun 2017 berikut[dalam mm, dibulatkan ke satuan terdekat]:161 139 88 343 309 421 161 250 100 152 219 223 Sumber: //samarindakota.bps.go.ida. Tentukanlah median dari data tersebut.b. Tentukanlah Q₁ dan Q₃ dari data tersebut. Apakah kalian perlu melakukan interpolasi?2. Menjelang Hari Raya Kurban, biasanya para peternak sapi mempersiapkan sapi-sapi yang akan dijual. Berikut data berat 31 ekor sapi yang akan dijual oleh peternak.Berat sapi [kg] 300-349 350-399 400-449 450-499 500-549 Frekuensi 3 6 10 7 5a. Tentukanlah estimasi dari median berat sapi di atas.b. Carilah Q₁. Apakah kalian perlu melakukan interpolasi?c. Carilah Q₃.d. Interpretasikanlah hasil Q₃ yang kamu dapatkan di bagian c.e. Carilah P₁₀, lalu interpretasikan hasilnya.3. Indonesia adalah negara yang kaya dan terkenal dengan faunanya yang beraneka ragam. Bahkan, banyak hewan yang hanya terdapat di Indonesia karena keunikan kondisi alamnya. Karena itulah kita harus melestarikan dan memperhatikan hewan langka yang masih tersisa agar kelak generasi selanjutnya tetap dapat menyaksikan kelangsungan hidup hewan langka ini. Salah satu contoh hewan langka adalah burung elang jawa [Nisaetus bartelsi]. Jumlahnya saat ini diperkirakan hanya tinggal sekitar 300-500 ekor saja. Tabel di bawah ini menunjukkan panjang bentang sayap elang jawa dalam meter yang berhasil dikumpulkan oleh para peneliti lingkungan.204 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPanjang bentang 166–170 171–175 176–180 181–185 Lebih sayap [cm] 4 20 37 28 dari 186 Frekuensi 11a. Tentukanlah Q₁ dan Q₃.b. Tentukanlah persentil ke-80 dan interpretasikanlah hasilnya.c. Jelaskan mengapa tidak mungkin bisa menemukan persentil ke-90. Dalam subbab ini, kalian sudah belajar mengenai ukuran lokasi: kuartil dan persentil. a. Kuartil berapakah yang sama dengan median? b. Ada berapa persen datakah yang di atas Q₃? c. Ada berapa persen datakah yang di atas Q₁? d. Ada berapa persen datakah yang di bawah P₁₅? e. Kuartil berapakah yang nilainya sama dengan P₂₅? P7₅?E. Ukuran Penyebaran1. Jangkauan Inter KuartilUkuran penyebaran dari sekumpulan data mengukur seberapa jauh data-data tersebuttersebar. Dua kelompok data yang memiliki mean yang sama, bisa memiliki uluranpenyebaran yang sangat berbeda.Eksplorasi 7.8 Membandingkan Ukuran Penyebaran dari Dua KelompokData Tunggal Ayo BereksplorasiKelompok pertama yang terdiri dari 12 orang memiliki umur: 13, 14, 15, 15, 16, 16,17, 17, 17, 17, 17, 18 Kelompok kedua yang juga terdiri dari 12 orang memiliki umur: 1, 3, 4, 5, 7, 8,12, 27, 28, 29, 32, 36Hitunglah mean, Q₁, dan Q₃ dari kedua kelompok di atas. Bab 7 | Statistika 205Rata-rata umur dari kelompok pertama maupun kelompok kedua adalah 16 tahun. Walaupun kedua kelompok memiliki mean yang sama, namun jika kalianmemperhatikan setiap data dari kedua kelompok, manakah yang menurut kalianlebih mewakili kelompok umur siswa? Manakah yang lebih mewakili umur orangdewasa dan anak kecil? Jelaskan alasanmu. Salah satu ukuran penyebaran yang telah kalian pelajari sebelumnya adalahjangkauan [range].Range kelompok pertama = 18 – 13 = 5Range kelompok kedua = 36 – 1 = 35 Range kelompok kedua lebih besar dari range kelompok pertama, berarti datapada kelompok kedua jauh lebih tersebar dibanding kelompok pertama. Ukuran penyebaran lain yang dapat digunakan adalah jangkauan interkuartil.Jangkauan interkuartil diperoleh dengan cara mencari selisih antara kuartil atas [Q₃]dan kuartil bawah [Q₁]. Menghitung Q₁ dan Q₃ kelompok pertama, tidak perlu menggunakan metodeinterpolasi karena data merupakan data tunggal.Karena data = × 12 = 3, maka Q₁ terletak di antara data ke-3 dan ke-4Sedangkan × 12 = 9, maka Q₃ terletak di antara data ke-9 dan ke-10Kelompok pertama: Q₁ = 15 dan Q₃ = 17Kelompok kedua: Q₁ = 4,5 dan Q₃ = 28,5 Jangkauan interkuartil kelompok pertama = 17–15 = 2, sedangkan jangkauaninterkuartil kelompok kedua = 28,5 – 4,5 = 24.Jika hasil di atas kita tampilkan dalam tabel: Tabel 7.8 Perbandingan Mean, Range dan Jangkauan Interkuartil Antara Kelompok Pertama dan KeduaKelompok Mean Range Jangkauan Interkuartil Pertama 16 5 Kedua 16 35 2 24206 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XMaka kita dapat menyimpulkan bahwa walaupun kedua kelompok memilikirata-rata umur yang sama yaitu 16, kalian akan dapat menemukan teman-teman yangseumuran dengan kalian pada kelompok pertama daripada kelompok kedua. Halini dikarenakan data-data yang tersebar pada kelompok pertama memiliki ukuranpenyebaran [range dan jangkauan interkuartil] yang lebih kecil dibanding kelompokkedua. Jadi, data pada kelompok pertama banyak yang besarnya di sekitar mean.2. Varian dan Simpangan Baku Data TunggalUkuran penyebaran lainnya yang biasa digunakan untuk mengetahui sebaran dataadalah varian. Semakin kecil varian, maka data-data dalam kelompok tersebut semakin seragammendekati mean kelompok. Demikian juga sebaliknya. Varian diperoleh dengan cara mengurangi setiap data dengan mean, atau denganrumus berikut:Varian = , di mana adalah mean.Varian sering diberikan ditulis dalam simbol σ². Sedangkan simpangan baku adalah akar dari varian. Simbol untuk simpanganbaku adalah σ.Eksplorasi 7.9 Membandingkan Varian dari Dua Kelompok Data Tunggal Ayo BereksplorasiKembali ke soal kelompok umur: Kelompok pertama yang terdiri dari 12 orang memiliki umur: 13, 14, 15, 15, 16,16, 17, 17, 17, 17, 17, 18. Kelompok kedua yang juga terdiri dari 12 orang memiliki umur: 1, 3, 4, 5, 7, 8,12, 27, 28, 29, 32, 36.Hitunglah varian dan simpangan baku dari kedua kelompok umur ini. Rata-rata dari kelompok pertama maupun kedua = 16. Selanjutnya, mari kitahitung varian masing-masing kelompok. Bab 7 | Statistika 207σ² Kelompok 1σ² Kelompok 2Simpangan baku [σ] kelompok 1 = σ¹ =Simpangan baku [σ] kelompok 2 = σ² = Kita dapat melihat bahwa nilai σ² yang besar menunjukkan bahwa data-dataumur pada kelompok 2 memiliki sebaran yang jauh dari mean kelompok 2. Sedangkankelompok 1 memiliki data-data yang relatif seragam dan mendekati mean kelompok 1.Cara lain dalam menghitung varian: Mari kita menghitung ulang nilai dari varian kelompok 1 dengan rumus di atasdan membandingkan hasilnya dengan cara sebelumnya:Karena jumlah data ada sebanyak 12, maka n = 12 Ayo Berdiskusi Mengapa rumus kedua bisa memberikan hasil yang sama?Bagaimana hasil varian dengan cara ini dibanding cara sebelumnya? Apakah sama? Ayo Mencoba1. Kalian dapat mencoba untuk mencari varian dengan rumus σ² = untuk kelompok yang kedua.208 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X2. Jika ada kelompok ketiga yang juga beranggotakan 12 orang, namun semuanya berusia 16 tahun, tanpa melakukan perhitungan menggunakan rumus, bisakah kalian menentukan mean, varian, dan simpangan baku dari kelompok ketiga ini?3. Varian dan Simpangan Baku Data KelompokSama halnya seperti mencari mean dari data kelompok, kita akan selalu mengasumsikanbahwa data-data yang terdapat dalam kelas interval tertentu diasumsikan tersebarmerata sehingga kita dapat menggunakan nilai tengah dari setiap kelas interval. Marikita lihat soal berikut.Eksplorasi 7.10 Varian dalam Data KelompokAyo BereksplorasiDari suatu penelitian mengenai lamanya baterai HP, diperoleh data sebagai berikut: Tabel 7.9 Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok Durasi Baterai HPDurasi baterai [jam] 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30Frekuensi 2 10 18 45 5Tentukanlah varian dan simpangan dari durasi baterai tersebut. Untuk data berkelompok, maka kita perlu menentukan nilai tengah dari masing-masing kelas terlebih dahulu. Lalu mencari nilai dan . Agar lebih mudah, kitatempatkan semua nilai dalam tabel berikut.Durasi baterai Nilai tengah, xi Frekuensi, f f · xi f · xi² [jam] 2 16 1286-10 8 10 130 1.69011-15 13 18 324 5.83216-20 18 45 1.035 23.80521-25 23 5 140 3.92026-30 28 80 1.645 35.375Dari tabel di atas kita memperoleh: Bab 7 | Statistika 209Maka varian σ² =Simpangan baku σ =Latihan 7.51. Dari suatu survei tentang banyaknya buku yang dibaca oleh siswa SMA dalam 1 bulan, diperoleh hasil yang diambil secara acak. Banyaknya buku yang dibaca 7 orang siswa adalah sebagai berikut: 3462885 Tentukanlah varian dan simpangan dari data tersebut.2. Sebelum pandemi Covid-19, sekolah mencatat waktu yang diperlukan oleh siswa untuk makan siang di kantin [dibulatkan ke menit terdekat]. Hasilnya adalah sebagai berikut:Waktu yang diperlukan, t [menit] 35 36 37 38 Frekuensi 3 17 29 34a. Tentukanlah rata-rata dari data tersebut.b. Tentukanlah simpangan bakunya.3. Diketahui sekumpulan data memiliki data-data sebagai berikut: Carilah: a. mean b. Varian, σ² c. Simpangan baku, σ4. Dari data kelompok pertama yang terdiri dari 10 bilangan diperoleh sebagai berikut:Sedangkan kelompok kedua yang terdiri dari 15 bilangan diperoleh sebagaiberikut:210 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XTentukanlah mean dan simpangan baku dari gabungan kedua kelompok tersebut yang terdiri dari 25 bilangan.5. Guru berbeda mengajar 2 kelas yang berbeda, kelas A dan kelas B, dengan beda metode mengajar. Siswa dari kedua kelas tersebut mengikuti ujian yang sama pada akhir semester. Berikut hasil ujian dari kedua kelas.Hasil Ujian 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89Frekuensi A 1 3 6 6 11 10 8Frekuensi B 1 2 4 13 15 6 3a. Hitunglah mean dari masing-masing kelompok.b. Dari hasil a, menurut kalian, apakah metode guru yang satu lebih baik dari metode guru lainnya? Jelaskan alasan dari jawabanmu! Bab 7 | Statistika 211RefleksiDalam bab ini, kalian sudah belajar mengenai ukuran pemusatan, ukuran lokasi, danukuran penyebaran dari suatu kelompok data dan menggunakan berbagai ukurantersebut dalam melakukan pengambilan keputusan. a. Bagaimana menemukan mean, modus, dan median data kelompok? b. Bagaimana menemukan ukuran lokasi seperti persentil dan kuartil baik dalam data tunggal maupun dalam data kelompok? c. Bagaimana menemukan varian dan simpangan baku baik dalam data tunggal maupun dalam data kelompok?Bagaimana memilih ukuran pemusatan yang tepat dan sesuai dengan konteksmasalah?Uji Kompetensi1. Di antara keempat grafik di bawah ini, manakah yang merupakan grafik dari: a. Perubahan berat badan seekor kucing dari lahir sampai usia 2 tahun. b. Aktivitas kegiatan anak dari sebelum tidur dan setelah tidur. c. Jumlah penduduk di 6 kota yang berbeda. d. Ketinggian permukaan air laut dari kondisi pasang ke kondisi surut.212 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X2. Saat pelajaran matematika, para siswa di kelas 10 menggambar line plot yang menunjukkan banyaknya anggota keluarga dari setiap siswa. a. Berapakah banyaknya orang yang terdapat dalam keluarga para siswa di kelas tersebut? b. Seorang siswa yang bernama Jono berkata, ”Line plot ini salah! Anggota keluarga saya berjumlah 8 orang. Saya memiliki jumlah anggota keluarga yang terbanyak, mengapa tanda X di atas angka 8 malah jadi yang paling pendek?” Jawablah pertanyaan Jono.3. Hasil 4 ulangan matematika Dodi adalah 81, 79, 90, dan 70. Ulangan ke-5 baru akan dibagikan. Guru Dodi menyampaikan ke Dodi bahwa Dodi boleh memilih apakah mau menggunakan median atau mean sebagai nilai rapornya, namun Dodi harus menentukan sebelum ia menerima hasil tes matematika yang ke-5. a. Hitunglah mean dan median dari keempat hasil ulangan matematika Dodi. b. Jika Dodi tidak yakin dengan hasil ulangan ke-5 nya, manakah yang sebaiknya ia pilih, mean atau median? Jelaskan. c. Jika Dodi yakin dengan hasil ulangan ke-5 nya, manakah yang sebaiknya ia pilih, mean atau median? Jelaskan.4. Dalam ujian Fisika, rata-rata nilai dari delapan siswa adalah 65. Rata-rata grup kedua yang berjumlah 12 siswa adalah 72. Hitunglah rata-rata gabungan dari kedua kelompok ini yang berjumlah 20 siswa. Bab 7 | Statistika 2135. Selama tahun ajaran yang lalu, diperoleh data banyaknya hari di mana siswa tidak hadir.Jumlah hari absen 012 3 4 Frekuensi 12 20 10 7 5a. Hitunglah Q₁ dari data ini, lalu interpretasikan hasilnyab. Hitunglah jangkauan interkuartil dari data ini.c. Hitunglah standar deviasi dari data jumlah hari absen tersebut.6. Dalam suatu lomba lari, diperoleh data catatan waktu sebagai berikut:Waktu yang ditempuh, 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 t [menit]Frekuensi 5 10 36 20 9a. Hitunglah mean.b. Gunakanlah interpolasi untuk menghitung jangkauan interkuartil.c. Jika diketahui dan di mana x adalah nilaitengah dari tiap kelas, maka tentukanlah nilai dari varian dan simpanganbaku dari catatan waktu para pelari.214 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XKementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi BabRepublik Indonesia, 2021 8Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPenulis: Dicky Susanto, dkkISBN: 978-602-244-526-5PeluangPengalaman BelajarSetelah mempelajari bab ini, kalian diharapkandapat:1. Menentukan ruang sampel sebuah kejadian;2. Membuat distribusi peluang kejadian;3. Membedakan antara kejadian saling lepas dan kejadian tidak saling lepas;4. Menggunakan aturan penjumlahan untuk menentukan peluang dua kejadian saling lepas; dan5. Memodifikasi aturan penjumlahan untuk menentukan peluang dua kejadian tidak saling lepas.AB A B OSeberapa besar kemungkinan akan turunnya hujan? Berapa persen kemungkinanseseorang terpapar Covid-19? Berapa persen kemungkinan seseorang memilikigolongan darah AB-? Semua pertanyaan ini berhubungan dengan kemungkinansuatu kejadian yang merupakan bagian dari kehidupan kita sehari-hari. Kalian bisamemprediksi kemungkinan suatu kejadian dengan menggunakan salah satu bidangmatematika yang disebut peluang. Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu kejadian [event] yangakan terjadi [atau tidak terjadi] di masa mendatang. Dalam bab ini, kalian akanmempelajari mengenai ruang sampel dan distribusi peluang, dan menggunakanaturan penjumlahan untuk menemukan peluang bahwa peristiwa A terjadi atauperistiwa B terjadi.Pertanyaan Pemantik1. Bagaimana kalian dapat menentukan peluang dari dua kejadian acak yang terkait seperti melempar dua dadu?2. Dalam kondisi apa kalian dapat menjumlahkan masing-masing peluang kejadian untuk menentukan peluang dari kejadian yang berhubungan?Kata KunciPeluang, ruang sampel, kejadian saling lepas, kejadian tidak saling lepas.216 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPeta KonsepAyo Mengingat KembaliPeluang Sederhana• Jika sebuah kejadian tidak mungkin terjadi, maka peluangnya 0.• Jika sebuah kejadian pasti terjadi, maka peluangnya 1.• Peluang memiliki nilai antara 0 dan 1 inklusif [0 dan 1 termasuk].• Peluang dituliskan dalam bentuk pecahan atau desimal.• Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dalam suatu percobaan [eksperimen] peluang dan diberikan lambang S.• Banyaknya semua anggota S ditulis dengan simbol .• Titik sampel adalah anggota dari ruang sampel.• Peluang terjadinya kejadian A adalah , di mana adalah banyaknyaanggota dalam kejadian A dan adalah banyaknya anggota dalam himpunanruang sampel.A. Distribusi Peluang Dalam mendesain permainan, perlu dipastikan bahwa peluang untuk Gambar 8.1 Berbagai Permainan Papan menang sama besarnya untuk setiap [Board Game] pemain. Sering kali permainan tersebut menggunakan dadu untuk menentukan jumlah langkah. Dadu memiliki bentuk simetris dan dengan asumsi dadu tersebut adil sehingga setiap sisi memiliki kemungkinan yang sama besarnya saat dadu dilempar. Bab 8 | Peluang 217Eksplorasi 8.1 Distribusi Peluang Ayo BereksplorasiMisalnya kalian melempar dua buah dadu yang memiliki warna berbeda, satu merahdan satu putih.1. Ayo salin dan lengkapi Tabel 8.1 untuk menunjukkan semua kemungkinan hasil melemparkan sekali kedua dadu tersebut. Tabel 8.1 Ruang Sampel untuk Kejadian Melempar Dadu Merah dan Dadu Putih Ayo Berdiskusi Apa arti 3, 2? Apakah berbeda dengan 2, 3? Mengapa?2. Apakah semua hasil sama kemungkinannya? Ayo Berpikir Kritis Jika kedua dadu memiliki warna yang sama, apakah hasil kemungkinan tetap sama? Jelaskan.3. Apakah peluang mendapatkan angka yang sama pada kedua dadu adalah sama besarnya?4. Berapa peluang mendapatkan setidaknya satu dadu yang menunjukkan angka 5?218 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X5. Mana yang lebih memungkinkan, mendapatkan setidaknya satu angka 4 atau mendapatkan dua angka yang sama? Jelaskan. Ayo Menggunakan Teknologi Kalian dapat melakukan pelemparan dadu secara daring di // virtualdiceroll.com/2/en/two-dice. Tabel 8.1 pada eksplorasi disebut sebagai ruang sampel untuk situasi melempardua dadu. Sebuah ruang sampel merupakan himpunan semua kemungkinan hasil.Untuk dadu yang adil, semua 36 hasil pada ruang sampel sama kemungkinannya untukterjadi. Sama kemungkinan artinya setiap hasil memiliki peluang yang sama untukterjadi. Ketika hasil sama kemungkinannya, peluang sebuah kejadian ditentukan olehContoh:Peluang jumlah 11 adalah = . Bab 8 | Peluang 219Peluang angka 2 di setidaknya satu dadu atau berjumlah 2 adalah = .Peluang angka sama dan berjumlah 8 adalah .Peluang angka sama atau berjumlah 8 adalah = .220 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPeluang jumlah tidak lebih daripada 9 adalah = .Peluang jumlah setidaknya 9 adalah = .Latihan 8.11. Coba kalian tentukan peluang untuk kejadian berikut ini: a. jumlah 2 atau 3 b. jumlah lebih besar daripada 3 c. jumlah setidaknya 3 d. jumlah lebih kecil daripada 3 Distribusi peluang adalah deskripsi dari semua kemungkinan hasil dari situasiacak bersama dengan peluang terjadinya masing-masing. Distribusi peluang berbedadari ruang sampel karena semua hasil harus berupa angka tunggal dan peluang harusditentukan. Misalnya, Tabel 8.2 distribusi peluang di bawah ini menunjukkan semuakemungkinan jumlah yang bisa diperoleh dari lemparan dua dadu. Bab 8 | Peluang 221Tabel 8.2 Distribusi Peluang untuk Jumlah Dua DaduJumlah Peluang 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Salin dan lengkapi distribusi peluang ini dengan mengisi peluangnya.a. Berapa jumlah dari semua peluang?b. Bagaimana kalian dapat menggunakan tabel distribusi peluang untuk mencari peluang pada Latihan 8.1?Latihan 8.21. Misalnya kalian melempar dua dadu dan mencatat angka yang lebih besar daripada dua dadu tersebut. [Jika angkanya sama, catat angka tersebut.] a. Gunakan ruang sampel pada Eksplorasi 8.1 untuk membantu kalian melengkapi tabel distribusi peluang untuk situasi ini.Angka yang Lebih Besar Peluang 1 2 3 4222 Matematika untuk SMA/SMK Kelas Xb. Berapa peluang bahwa angka yang lebih besarnya adalah 3? Adalah 2 atau 3? Adalah 3 atau kurang? Adalah lebih dari 3?2. Sekarang misalnya kalian melempar dua dadu dan mencatat nilai mutlak dari selisih kedua bilangan. a. Gunakan ruang sampel pada Eksplorasi 8.1 untuk membantu kalian melengkapi tabel distribusi peluang untuk situasi ini.Nilai Mutlak dari Selisih Dua Dadu Peluang 0b. Berapa peluang bahwa nilai mutlak dari selisihnya adalah 3? Adalah 2 atau 3? Adalah setidaknya 2? Adalah tidak lebih dari 2? Ayo MencobaSekarang kalian mencoba sendiri menentukan distribusi peluang untukkejadian melempar dua keping uang logam dengan dua kemungkinan hasil{gambar, angka} dengan membuat tabel seperti di bawah ini. Gambar 8.2 Gambar Uang Logam dengan Dua SisinyaTabel 8.3 Distribusi Peluang untuk Jumlah Gambar pada Uang LogamJumlah Gambar Peluang 0 1 2 Bab 8 | Peluang 223Pada bagian ini, kalian telah belajar bagaimana membuat distribusi peluang dari ruang sampel dari hasil yang sama kemungkinannya. • Apa perbedaan antara ruang sampel dan distribusi peluang? • Mengapa hasil dari ruang sampel melempar dua dadu sama kemungkinannya? Ayo Berpikir Kritis Seorang teman kalian mengatakan bahwa untuk hasil kali dua dadu, peluang mendapatkan bilangan genap lebih besar daripada peluang mendapatkan bilangan ganjil. Setujukah kalian dengan dia? Jelaskan. Ayo Berdiskusi Diskusikan apa yang dikatakan para siswa. Kalian lebih setuju dengan siapa? Gambar 8.3 Perbincangan Siswa Mengenai Peluang224 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XB. Aturan PenjumlahanEksplorasi 8.2 Aturan Penjumlahan Ayo BereksplorasiPada eksplorasi sebelumnya, kalian membuat distribusi peluang untuk jumlahdari dua dadu. Kalian menemukan bahwa untuk menentukan peluang untuk hasilpenjumlahan dua dadu mendapat 3 atau 4, kalian dapat menjumlahkan peluang untukmendapatkan jumlah 3 dengan peluang mendapatkan jumlah 4, yaitu .Saat mengerjakan eksplorasi ini, pikirkan jawaban untuk pertanyaan berikut: Dalamkondisi apa kalian dapat menjumlahkan masing-masing peluang kejadian untukmenentukan peluang dari kejadian yang berhubungan? Ada siswa yang menggunakan hanya satu moda transportasi ke sekolah,sedangkan ada yang menggunakan beberapa moda transportasi. Ayo, salin danlengkapi tabel berikut untuk moda transportasi yang digunakan oleh semua siswa dikelas kalian hari ini ke sekolah. [Catatan: Jika menggunakan lebih dari satu, pilih yangjarak terpanjang.] Ayo Bekerja SamaPikirkan cara mengumpulkan informasi ini dengan efisien.Tabel 8.4 Jumlah Siswa Sesuai dengan Moda Transportasi yang Digunakan ke Sekolah pada Hari IniModa transportasi yang digunakan ke sekolah hari ini Jumlah Siswa Jalan kaki Sepeda Motor Mobil Kendaraan Umum Sekarang lengkapi tabel berikut dengan mencatat jumlah siswa di dalam kelaskalian yang dapat menggunakan moda transportasi tersebut [bisa lebih dari satu]. Bab 8 | Peluang 225Tabel 8.5 Jumlah Siswa sesuai dengan Moda Transportasi yang Dapat Digunakan ke SekolahModa transportasi yang dapat digunakan ke sekolah Jumlah siswa Jalan kaki Sepeda Motor Mobil Kendaraan Umum Dalam matematika, kata “atau” berarti “salah satu atau kedua-duanya”. Maka,kejadian bahwa seorang siswa menggunakan sepeda atau menggunakan motor kesekolah termasuk semua hasil berikut:• Siswa tersebut dapat menggunakan sepeda, tetapi tidak dapat menggunakan motor ke sekolah.• Siswa tersebut dapat menggunakan motor, tetapi tidak dapat menggunakan sepeda ke sekolah.• Siswa tersebut dapat menggunakan baik sepeda maupun motor ke sekolah. Ayo Berdiskusi Diskusikan pertanyaan-pertanyaan ini dengan pasangan atau teman kelompok dan bersiap untuk mempresentasikan hasilnya.1. Tentukan manakah dari pertanyaan berikut ini yang dapat kalian jawab dengan hanya menggunakan data dari tabel. Kemudian, jawablah pertanyaan tersebut. a. Berapa peluang seorang siswa yang dipilih secara acak dari kelas kalian hari ini menggunakan sepeda atau motor ke sekolah? b. Berapa peluang seorang siswa yang dipilih secara acak dari kelas kalian biasanya menggunakan sepeda atau motor ke sekolah?2. Mengapa pertanyaan lain di nomor 1 tidak dapat dijawab hanya dengan menggunakan informasi pada tabel? Informasi apa yang dibutuhkan untuk menjawab pertanyaan tersebut? Pada Eksplorasi 8.1, kalian dapat menjawab pertanyaan “atau” denganmenjumlahkan peluang masing-masing. Demikian juga untuk tabel pertama dariEksplorasi 8.2 di mana masing-masing siswa hanya boleh memilih satu jawaban.226 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XTidaklah demikian dengan tabel kedua di mana siswa boleh memilih lebih dari satujawaban. Karakteristik apa dari tabel yang memungkinkan untuk menjumlahkanuntuk menjawab sebuah pertanyaan “atau”? Perbedaannya adalah antara kejadianyang saling lepas dan yang tidak saling lepas. Dua kejadian dikatakan saling lepas [atau disjoint] jika tidak mungkin bagikeduanya untuk terjadi pada hasil yang sama. Misalnya, perhatikan kejadian berikutini. Manakah yang merupakan dua kejadian yang saling lepas dari contoh-contohberikut ini? Ayo Berpikir Kritis Pikirkan pertanyaan ini sendiri kemudian diskusikan dengan pasangan atau anggota kelompok. a. Melemparkan sepasang dadu dan mendapatkan jumlah 7; mendapatkan angka yang sama pada saat yang sama. b. Melemparkan sepasang dadu dan mendapatkan jumlah 8; mendapatkan angka yang sama pada saat yang sama. c. Abi menggunakan mobil ke sekolah hari ini; Abi menggunakan kendaraan umum ke sekolah hari ini. d. Zain menggunakan motor ke sekolah hari ini; Zain menggunakan sepeda ke sekolah.1. Dua Kejadian A dan B Saling Lepas1. Menurut kalian diagram Venn manakah berikut ini yang menggambarkan situasi dua kejadian yang saling lepas?Gambar 8.4 Diagram Venn untuk Dua Kejadian2. Untuk dua kejadian A dan B saling lepas, apa peluang bahwa A dan B terjadipada hasil yang sama? Peluang ini ditulis P[A dan B] atau .Bab 8 | Peluang 227HintPerhatikan diagram Venn, apakah ada daerah yang menggambarkan duakejadian tersebut sekaligus.3. Ketika A dan B saling lepas, bagaimana caranya kalian menentukan peluangbahwa A terjadi atau B terjadi [atau keduanya terjadi]? Peluang ini ditulisP[A atau B] atau .Secara simbolis kalian dapat menuliskan aturan untuk menghitung peluangbahwa A terjadi atau B terjadi dengan = P[A atau B]. Peraturan inidisebut aturan penjumlahan untuk kejadian saling lepas.2. Dua Kejadian A dan B Tidak Saling LepasPada soal 1 di atas, diagram mana yang menggambarkan situasi dua kejadian yangtidak saling lepas?Untuk dua kejadian A dan B yang tidak saling lepas, apa peluang bahwa A danB terjadi pada hasil yang sama, yaitu ? Di manakah peluang ini dinyatakanpada diagram Venn yang kalian pilih?Lihat kembali pekerjaan kalian pada Eksplorasi 2. Dengan diagram Venn, jelaskanbagaimana kalian dapat memodifikasi aturan kalian dari soal bagian A untuk duakejadian saling lepas untuk menghitung ketika A dan B tidak saling lepas. HintPerhatikan luas daerah peluang kejadian A dan luas daerah peluang kejadianB pada diagram Venn dan bandingkan dengan luas daerah peluang A atau B.Secara simbolis kalian dapat menuliskan aturan untuk menghitunguntuk dua kejadian tidak saling lepas dengan = P[A] + P[B]– . Aturan ini disebut aturan penjumlahan.Latihan 8.3Gunakan aturan penjumlahan untuk soal-soal berikut mengenai sepasang dadu yangdilempar.228 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X1. Tentukan peluang mendapatkan dua angka sama atau berjumlah 5.• Apakah kedua kejadian ini saling lepas atau tidak saling lepas?• Peluang mendapatkan dua angka sama adalah P[A] = .• Peluang mendapatkan jumlah 5 adalah P[A] = .• Peluang mendapatkan dua angka sama dan berjumlah 5, =…• Maka peluang mendapatkan dua angka sama atau berjumlah 5 adalah …2. Tentukan peluang mendapatkan dua angka sama atau berjumlah 2. • Apakah kedua kejadian ini saling lepas atau tidak saling lepas? • Tentukan peluang mendapatkan dua angka sama, peluang mendapatkan jumlah 2, dan peluang mendapatkan dua angka yang sama dan berjumlah 2.3. Tentukan peluang bahwa nilai mutlak dari selisihnya adalah 3 atau mendapatkan jumlah 5. Hint Lihat Latihan 8.2 nomor 2.4. Tentukan peluang bahwa nilai mutlak dari selisihnya adalah 2 atau mendapatkan jumlah 11. Melalui eksplorasi 8.2, kalian telah belajar bagaimana menghitung peluang untukterjadinya peristiwa A atau peristiwa B.Apa perbedaan dua kejadian yang saling lepas dan yang tidak saling lepasberdasarkan aturan penjumlahannya? Mengapa? Ayo Berpikir KreatifBerikan sebuah contoh dua kejadian yang saling lepas yang berbeda dariyang di eksplorasi. Bab 8 | Peluang 229Latihan Mandiri 8.4Soal Pemahaman1. Misalnya kalian melemparkan uang logam tiga kali. a. Buatlah daftar ruang sampel untuk semua 8 hasil yang mungkin. Sebagai contoh, salah satu hasil adalah gambar, angka, angka [GAA]. b. Apakah hasil di dalam ruang sampel kalian sama besar kemungkinan terjadinya? Jelaskan. c. Buatlah tabel distribusi peluang untuk jumlah gambar. Apa peluang untuk mendapatkan tepat 2 gambar? Paling banyak 2 gambar?2. Yang manakah dari pasangan peristiwa berikut ini yang saling lepas? Jelaskan alasannya. a. Melempar sepasang dadu: mendapatkan jumlah 6; mendapatkan satu dadu 6. b. Melemparkan uang logam 7 kali: mendapatkan tepat 3 gambar; mendapatkan tepat 5 gambar. c. Melemparkan uang logam 7 kali: mendapatkan setidaknya 3 gambar; mendapatkan setidaknya 5 gambar.3. Gunakan bentuk yang sesuai dari aturan penjumlahan untuk menentukan peluang dari melempar sepasang dadu dan a. mendapatkan jumlah 6 atau mendapatkan satu dadu dengan 6, b. mendapatkan jumlah 6 atau mendapatkan angka yang sama.Soal Aplikasi4. Misalnya kalian melemparkan sebuah dadu dan kemudian melemparkannya kembali. Dadu berbentuk tetrahedron [limas segitiga] beraturan dan terdapat angka 1, 2, 3, dan 4 pada sisinya. Gambar 8.5 Dadu Berbentuk Limas Segitiga230 Matematika untuk SMA/SMK Kelas Xa. Buatlah bagan yang menunjukkan ruang sampel dari semua kemungkinan hasilnya. b. Ada berapa hasil kemungkinan? Apakah semua sama besar kemungkinannya? c. Buatlah tabel distribusi peluang untuk selisih dari kedua dadu [dadu pertama-dadu kedua]. [Keterangan: Bukan nilai mutlak dari selisih] d. Selisih apa yang paling mungkin kalian dapatkan? e. Berapa peluang bahwa selisihnya paling besar 2?5. Misalnya kalian melemparkan dadu berbentuk tetrahedron [limas segitiga beraturan] dan sebuah dadu biasa [berbentuk kubus dengan enam sisi] pada saat yang sama. a. Buatlah bagan yang menunjukkan ruang sampel dari semua hasil yang mungkin. b. Berapa banyak hasil yang mungkin? Apakah semuanya sama besar kemungkinannya? c. Buatlah tabel untuk distribusi peluang dari jumlah kedua dadu. d. Jumlah apa yang paling mungkin didapat? e. Berapa peluang bahwa jumlahnya paling banyak 3?6. Gunakan hasil kerja kalian pada soal 4 dan bentuk yang sesuai dari aturan penjumlahan untuk menjawab pertanyaan berikut yang berhubungan dengan melempar dua dadu tetrahedron. a. Berapa peluang kalian mendapatkan perbedaan 3 atau mendapatkan 2 pada dadu pertama? b. Berapa peluang mendapatkan selisih 2 atau mendapatkan angka yang sama? c. Berapa peluang mendapatkan selisih 0 atau mendapatkan angka yang sama? d. Berapa peluang mendapatkan selisih 0 atau jumlah 6? Bab 8 | Peluang 231Soal Penalaran7. Untuk kasus dua dadu dilempar dua kali, pertimbangkan peluang mendapatkan dua angka yang sama pada lemparan pertama atau pada lemparan kedua. a. Apakah benar bahwa peluang mendapatkan dua angka yang sama pada lemparan pertama atau pada lemparan kedua adalah ? Berikan penjelasan untuk jawaban kalian. b. Apakah benar bahwa peluang mendapatkan dua angka yang sama pada setidaknya satu dari enam giliran adalah?8. Misalnya kalian melemparkan uang logam empat kali dan mencatat gambar [G] atau angka [A] sesuai urutan munculnya. a. Buatlah daftar semua 16 hasil yang mungkin. b. Apakah hasil ini sama besar kemungkinannya? c. Buatlah tabel distribusi peluang untuk jumlah gambar. d. Berapa peluang yang kalian dapatkan tepat 2 gambar? Paling banyak 2 gambar?9. Perhatikan dadu khusus yang ditunjukkan sisi-sisinya sebagai berikut. Misalnya dalam sebuah permainan kalian memilih salah satu dadu, dan teman kalian memilih satu dari sisanya. Masing-masing melemparkan dadunya. Yang mendapatkan angka yang lebih besar memenangkan permainan. Gambar 8.6 Jaring-Jaring Berbagai Dadu Misalnya teman kalian memilih dadu biru. Supaya kesempatan menang lebih besar, dadu mana yang kalian akan pilih? Jika teman kalian memilih dadu hijau, dadu mana yang kalian akan pilih? Jika teman kalian memilih dadu merah, dadu mana yang kalian akan pilih? Apa kejutan di sini?

232 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X

Page 2

Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi BabRepublik Indonesia, 2021 2Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPenulis: Dicky Susanto, dkkISBN: 978-602-244-526-5Barisan dan DeretPengalaman BelajarSetelah mempelajari bab ini, kalian diharapkandapat:1. mendeskripsikan perbedaan antara barisan aritmetika dan barisan geometri;2. menentukan suku ke-n dan beda dari barisan aritmetika;3. menentukan suku ke-n dan rasio dari barisan geometri;4. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep barisan aritmetika dan barisan geometri;5. menentukan jumlah suku ke-n dari deret aritmetika dan deret geometri;6. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret aritmetika dan deret geometri;7. menentukan jumlah suku dari deret geometri tak hingga;8. menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret geometri tak hingga.Barisan dan deret sangat erat kaitannya dengan konsep pola bilangan yang telahkalian pelajari pada tingkat SMP. Penerapan barisan dan deret sangat mudah ditemuidalam kehidupan sehari-hari. Seperti yang ada di halaman bab pembuka, konsep barisan dan deret terkaitdengan menghitung susunan kursi dengan banyaknya kursi yang berbeda di tiapbarisnya. Kalian dapat menentukan banyak objek yang disusun dengan pola piramidadi mana objek tersebut dapat bertambah atau berkurang secara konstan. Kalian jugadapat menentukan panjang lintasan dari bola yang dipantulkan.Pertanyaan Pemantik1. Apakah barisan bilangan merupakan barisan aritmetika atau barisan geometri?2. Apa perbedaan barisan dan deret?3. Bagaimana menentukan suku ke-n dari suatu barisan?4. Bagaimana menentukan rumus Un dari suatu bilangan?5. Apakah perbedaan deret aritmetika atau deret geometri?6. Bagaimana menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret?7. Bagaimana menentukan jumlah deret geometri tak hingga?Kata KunciBarisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika, deret geometri, deretgeometri tak hinggaPeta Konsep34 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAyo Mengingat Kembali• Pola bilangan adalah susunan bilangan yang membentuk pola tertentu.• Suku ke-1 dilambangkan dengan U1.• Suku ke-2 dilambangkan dengan U2.• Suku ke-3 dilambangkan dengan U3.• Suku ke-n dilambangkan dengan Un.Eksplorasi 2.1 Meja Segi Empat Ayo BereksplorasiAyo bandingkan banyak meja dan kursi pada kedua gambar di bawah ini. PadaGambar 2.1, terdapat satu meja berbentuk segiempat yang dilengkapi empat kursi.Jika dua meja disatukan, maka dapat dilengkapi dengan 6 kursi [Gambar 2.2]Gambar 2.1 Meja Segi Empat dengan Gambar 2.2 Dua Meja Segi Empat Disatukan Empat Kursi Ayo BerdiskusiJawablah pertanyaan berikut dengan berdiskusi bersama teman kelompokmu.1. Berapa orang yang dapat duduk di kursi dengan sejumlah meja yang disatukan? Ayo berkolaborasi dengan temanmu dalam mengisi tabel 2.1 untuk menjawab pertanyaan tersebut. Bab 2 | Barisan dan Deret 35Tabel 2.1 Banyak Meja dan Kursi Banyak meja 1 2 3 4 5 6 Banyak kursi 4 6 ... ... ... ...2. Jika terdapat 20 orang yang akan makan bersama dalam satu meja, maka berapa meja yang perlu disatukan? Bagaimana kalian mengetahuinya? Jelaskan jawabanmu.A. BarisanTabel 2.1 menampilkan pola bilangan: 4, 6, 8, 10, ….Jika diamati lebih teliti, pola bilangan di atas disusun berdasarkan aturan tertentu.Pola bilangan yang demikian disebut dengan barisan bilangan.Terdiri dari berapa suku barisan bilangan tersebut?• Suku ke-1 dilambangkan dengan U1= ...• Suku ke-2 dilambangkan dengan U2= ...• Suku ke-3 dilambangkan dengan U3= ...• Suku ke-4 dilambangkan dengan U4= ...• Suku ke-n dilambangkan dengan UnSehingga, barisan bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk umum, yaituU1,U2,U3,U4,…………,Un.1. Barisan Aritmatika• Selanjutnya, aturan apa yang ada pada barisan bilangan pada Tabel 2.1?• Operasi penghitungan apa yang ada di antara suku-suku pada barisan bilangan di atas? 4 6 8 10 ... ... ...• Berapakah beda atau selisih antara dua suku yang berdekatan? U2 – U1 = ... – ... = ... U3 – U2 = ... – ... = ... U4 – U3 = ... – ... = ...• Apakah beda atau selisih antara dua suku yang berdekatan selalu sama?36 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XSuatu barisan dengan beda atau selisih antara dua suku berurutan selalutetap atau konstan disebut BARISAN ARITMETIKA. Beda pada barisan aritmetikadilambangkan dengan b. Seperti yang telah diuraikan di atas, untuk mencari beda dapat dilakukan dengancara mengurangkan dua suku yang berurutan sehingga dapat dituliskan sebagaiberikut.b = U2 – U1b = U3 – U2b = U4 – U3 dan seterusnya. Jadi, beda pada barisan aritmetika dapat dinyatakan dengan b = Un – U[n–1]Eksplorasi 2.2 Gedung Pertunjukan SeniAyo BereksplorasiAyo cermati banyak kursi di tiap barispada gedung pertunjukkan seni yangtampak pada Gambar 2.3:Baris ke-1 = 20Baris ke-2 = 24Baris ke-3 = 28Baris ke-4 = 32Baris ke-5 = 36Berapakah jumlah kursi pada bariske-15? Gambar 2.3 Gedung Pertunjukan Seni Untuk menentukan banyak kursi pada baris ke-15, sebelumnya kalian amatiterlebih dahulu banyak kursi di tiap baris.• Berapa beda atau selisih banyak kursi pada tiap baris?• Baris ke-1 = 20• Baris ke-2 = 24 = 20+ ... [20 ditambah ... sebanyak ... kali]= 20 + [… × …]• Baris ke-3 = 28 = 20 + ... + ... [20 ditambah ... sebanyak ... kali]= 20 + [… × …] Bab 2 | Barisan dan Deret 37• Baris ke-4 = 32 = 20 + ... +... +... [20 ditambah ... sebanyak ... kali] = 20 + [… × …]• Baris ke-5 = 36 = 20 + ... + ... + ... +... [20 ditambah ... sebanyak ... kali] = 20 + [… × …]• Jadi, pada baris ke-15 = 20 ditambah … sebanyak …. kali = 20 + [… × …] = ...Baris ke-15 = 20 + [… × …] = ...Suku ke-n [Un] selisih/beda [b] [n-1]Suku pertama [a]Jadi, rumus umum menentukan suku ke-n pada barisan aritmetika adalah: Un = a + [n - 1] bKeterangan: a = suku pertama n = nomor suku b = bedaUn = suku ke-n Contoh:1. Diketahui suatu barisan aritmetika, suku ke-3 = 9, suku ke-6 = 18. Tentukan rumus suku ke-n. Alternatif penyelesaian:38 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XRumus suku ke-n : Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Un = 3n2. Rudi menabung di bank dengan selisih kenaikan nominal uang yang ditabung antarbulan tetap. Jika pada bulan ke-5, nominal uang yang ditabung Rp70.000,00 dan pada bulan ke-9 Rudi menabung sebesar Rp90.000,00. a. Berapa rupiah selisih nominal uang yang ditabung antarbulan? b. Tentukan berapa rupiah uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya? Alternatif Penyelesaian: U5 = 70.000 a + [5 – 1]b = 70.000 a + 4b = 70.000 ... [persamaan 1] U9 = 90.000 a + [9 –1]b = 90.000 a + 8b = 90.000 ... [persamaan 2] Eliminasi Persamaan 1 dan 2 a + 8b = 90.000 a + 4b = 70.000 – 4b = 20.000 b = 5.000 b adalah beda atau selisih.Jadi, selisih nominal uang yang ditabung Rudi antarbulan adalah Rp5.000,00. Selanjutnya, menentukan uang yang ditabung Rudi pertama kali, yaitumenentukan suku pertama yang dilambangkan dengan a dengan bantuan nilai b[beda] yang telah diketahui.Gunakan persamaan 1, lalu substitusi nilai b [beda] yang telah diperoleh. Bab 2 | Barisan dan Deret 39a + 4b = 70.000 a + 4[5.000] = 70.000 a + 20.000 = 70.000 a = 70.000 – 20.000 a = 50.000 a adalah suku pertama. Jadi, uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya adalah sebesarRp50.000,00. Penjelasan di atas menggunakan Persamaan 1 untuk menentukan sukupertama. Bagaimana jika menggunakan Persamaan 2? Apakah hasilnya akan sama?Ayo MencobaLatihan 2.11. Tuliskan dua suku berikutnya dari barisan bilangan di bawah ini.a. 8, 5, 2, -1, … c. -15, -11, -7, …b. 2, 3, 5, 8, d. …10, 8, 4, -2, …Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soalnomor 1.• Apakah barisan di atas barisan aritmetika?• Jika iya, berapa beda dari barisan tersebut? Lalu, tentukan dua suku berikutnya dari barisan di atas.• Jika tidak, maka aturan apa yang terdapat pada barisan bilangan tersebut?2. Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut: 5, –2, –9, –16, …Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soalnomor 2.• Berapa beda pada barisan tersebut?• Un = a + [n – 1]bMaka, suku ke – 50 = U50 = ...40 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X3. Jika diketahui barisan aritmetika dengan sukuke - 3 dan suku i Hintke - 8 = –2. Tentukan suku pertama, beda, serta Tahap penyelesaianrumus suku ke - n dari barisan tersebut. soal nomor 3 dapat dilihat pada contoh2. Barisan Geometri soal 1 dan 2.Ayo BereksplorasiEksplorasi 2.3 Melipat kertasSiapkan kertas berbentuk persegi panjang, lalu ayo Gambar 2.4 Kertas Dilipat Satu Kalibereksplorasi melipat kertas beberapa kali. Jikakertas tersebut dilipat sebanyak 1 kali seperti padaGambar 2.4, maka kertas akan terbagi menjadi2 bagian sama besar. Lanjutkan melipat kertassebanyak beberapa kali, lalu tuliskan jumlahbagian sama besar yang terbentuk pada Tabel 2.2. Tabel 2.2 Jumlah Lipatan Kertas dan Bagian Sama Besar yang TerbentukJumlah melipat kertas 1 kali 2 kali 3 kali 4 kali 2 bagian ... bagian ... bagian ... bagianBanyaknya bagian samabesar yang terbentuk Ayo Berpikir KreatifTemukan cara melipat kertas yang berbeda. Bagaimana dengan jumlah bagiansama besar yang terbentuk? Apakah sama dengan yang ada pada tabel? Jelaskan.• Apakah banyaknya bagian yang sama besar pada lipatan kertas membentuk barisan bilangan?• Aturan apa yang terdapat pada barisan bilangan tersebut?• Operasi hitung apa yang ada di antara suku-suku pada barisan bilangan di atas? 2 4 8 ... ... ... ...• Ayo amati rasio antara dua suku yang berdekatan. Bab 2 | Barisan dan Deret 41• Apakah rasio antara dua suku yang berdekatan selalu sama? Suatu barisan dengan rasio antara dua suku berurutan selalu tetap atau konstandisebut BARISAN GEOMETRI. Rasio pada barisan geometri dilambangkan denganr. Seperti yang telah diuraikan di atas, untuk mencari rasio dapat dengan membagidua suku yang berurutan. Dengan demikian, dapat dituliskan sebagai berikut. dan SeterusnyaJadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan denganEksplorasi 2.4 Pembelahan BakteriAyo Bereksplorasi Bakteri merupakan makhluk hidup yang berkembang biak dengan cara membelah diri. Dalam waktu dua jam, satu sel bakteri membelah diri menjadi 3 bagian seperti pada Gambar 2.5. Ayo mencari jumlah bakteri setelah 20 jam, jika jumlah awal adalah 2 sel bakteri!Gambar 2.5 Pembelahan pada Bakteri42 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XUntuk menentukan jumlah sel bakteri setelah 20 jam, kalian harus melengkapipernyataan di bawah ini.• Suku pertama pada permasalahan di atas adalah ….• Tiap dua jam, membelah menjadi 3, maka rasio pada barisan di atas adalah ….Dalam 20 jam, terjadi pembelahan sebanyak 20 jam : 2 jam = … kali → n = 10.U… = … [2 dikali 3 sebanyak … kali] = 2 × 3… [2 dikali 3 sebanyak … kali] = 2 × 3…U1 = 2 [2 dikali 3 sebanyak … kali] = 2 × 3…U2 = 2 ×… [2 dikali 3 sebanyak … kali] = 2 × 3…U3 = 2 × … × …U4 = 2 × … × … × …U5 = 2 ×… ×… ×… × …U10 = 2 dikali 3 sebanyak … kaliU10 = 2 × 3…Suku ke-n [Un] [n-1] rasio [r]Suku pertama [a]Jadi, rumus umum menentukan suku ke-n pada barisan geometri adalah:Keterangan: a = suku pertama n = nomor suku r = rasioUn = suku ke-n Contoh:1. Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 4 dan suku ke-4 adalah 108. Tentukan rasio dari barisan tersebut. Alternatif penyelesaian: Bab 2 | Barisan dan Deret 43[substitusi nilai a] Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 3.2. Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian dengan ukuran panjang membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 16 cm dan tali yang paling panjang adalah 81 cm, maka tentukan panjang tali pada potongan ketiga.Alternatif penyelesaian:Tali yang paling pendek : a = 16Tali yang paling panjang : U5 = 81 U3 = …Kalian harus menentukan rasio terlebih dahulu. [substitusi nilai a] i Hint Pada soal mengenai barisan geometri, dapat juga memanfaatkan konsep sifat bilangan eksponen. Jadi, panjang tali pada potongan ketiga adalah 36 cm.44 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XLatihan 2.21. Tuliskan dua suku berikutnya dari barisan bilangan di bawah ini.a. , … , … c. 2, 2, 4, 12, …b. 25, 5, 1, … , … d. 3, 3, 3, 3, …Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soalnomor 1.• Apakah barisan di atas merupakan barisan geometri atau aritmetika? Bagaimana kalian mengetahuinya? Lalu, tentukan dua suku berikutnya dari barisan di atas.• Jika bukan keduanya, maka aturan apa yang ada pada barisan bilangan tersebut? Ayo diskusikan dengan teman kelompokmu.2. Tentukan suku ke-10 dari barisan 64, 32, 16, 8, …. Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 2. • Berapa rasio pada barisan tersebut? • Maka, suku ke-10 = U10 = … … … … …3. Jika diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 = 80 dan suku ke-6 = 5.Tentukan tiga suku pertama dari barisan geometri tersebut. Ayo BerefleksiPada subbab 2.1, kalian telah belajar mengenai barisan aritmetika dangeometri.1. Apa perbedaan antara barisan aritmetika dan geometri?2. Bagaimana kalian mengetahui suatu barisan merupakan barisan aritmetika atau geometri? Ayo Berpikir KreatifBerikan contoh aplikasi barisan bilangan dalam kehidupan sehari-hari selaindari yang telah dibahas pada subbab 2.1. Bab 2 | Barisan dan Deret 45Ayo Berpikir KritisSeorang teman kalian mengatakan bahwa jika rasio pada barisan geometriberupa bilangan bulat/bilangan pecahan positif, maka barisan geometri tersebutterdiri dari bilangan bulat/pecahan positif. Dan apabila rasionya bilangan bulat/pecahan negatif, maka barisan geometri tersebut terdiri dari bilangan bulat/pecahan negatif. Setujukah kalian dengan pendapatnya? Jelaskan.B. DeretAyo Mengingat KembaliBarisan bilangan, terdiri atas barisan aritmetika dan barisan geometri.• Beda pada barisan aritmetika dinyatakan dengan .• Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan• Rasio pada barisan geometri dinyatakan dengan .• Suku ke-n barisan geometri dinyatakan denganEksplorasi 2.5: Jabat Tangan Ayo BereksplorasiAyo bereksplorasi dengan melakukan jabat tangandengan beberapa teman yang ada di kelompokmu.Ayo BerdiskusiSetelah itu, jawablah pertanyaan berikut dengan Gambar 2.6 Siswa SMA Salingberkolaborasi bersama anggota kelompok. Berjabat Tangan1. Jika ada 2 orang, berapa banyak jabat tangan yang terjadi? ………………..2. Jika ada 3 orang, berapa banyak jabat tangan yang terjadi? ………………..46 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X3. Jika ada 4 orang, berapa banyak jabat tangan yang terjadi? ………………..4. Berapa total siswa dalam kelompokmu, dan berapa banyak jabat tangan yang terjadi? Bagaimana kalian mengetahuinya? ……………….. Ayo Berpikir KritisApakah banyak jabat tangan di atas membentuk barisan? Jelaskan jawabanmu.Dari Eksplorasi 2.5, banyak jabat tangan yang terjadi dapat dinyatakan sebagaiberikut.Tabel 2.3 Banyak Jabat Tangan yang Terjadi di KelasBanyaknya orang yang hadir Banyak jabat tangan Uraian dari banyak jabat tangan Dua orang 1 1 Tiga orang 3 1+2 Empat orang .. 1+…+… Lima orang … 1+…+…+…• Apakah uraian dari jumlah jabat tangan merupakan bentuk penjumlahan dari barisan bilangan?Bentuk penjumlahan dari barisan bilangan akan membentuk deret bilangan.Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku penyusun barisan bilangan.Deret bilangan, terdiri dari deret aritmetika dan deret geometri.1. Deret Aritmetika ? Tahukah Kalian? Gambar 2.7 Carl Friedrich Gauss [1777-1855] adalah seorangCARL FRIEDRICH GAUSS matematikawan Jerman yang telah menunjukkan bakatnya sejak kecil. Ketika duduk di kelas 4 SD, guru Sumber: shorturl.at/auOW0 matematikanya memberikan soal berupa penjumlahan bilangan 1 + 2 + 3 + 4+ … … … + 98 + 99 + 100 = … Tidak membutuhkan waktu yang lama, Gauss yang saat itu masih berusia 10 tahun langsung menjawab “5050”. Bab 2 | Barisan dan Deret 47Berikut cara Gauss menyelesaikan penjumlahan bilangan tersebut. 101 101 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 +100 101 101 Ia mengelompokkan suku-suku pada deret tersebut sehingga memiliki nilai yangsama ketika dijumlahkan.Sekarang, ayo cermati kembali deret bilangan di atas.1 + 2 + 3 + 4 +………… + 98 + 99 + 100 = …• Apakah bilangan pada deret di atas membentuk barisan?• Barisan apakah yang dibentuk dari suku-suku pada deret di atas? Deret aritmetika adalah suatu deret yang diperoleh dari menjumlahkan suku-suku pada barisan aritmetika.Dari barisan aritmetika: U1, U2, U3, U4, … … …, Un.Dapat dibentuk deret aritmetika: U1 + U2 + U3 + U4 + … … … + U10 Jumlah 4 suku pertama deret aritmetika: S₄ 48 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XJumlah 10 suku pertama deret aritmetika: S10 Jumlah 4 suku pertama deret aritmetika Jumlah 10 suku pertama deret aritmetika Dari kedua contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus Jumlah n suku pertama deret aritmetika: Penjumlahan deret aritmetika dibalik dari U1 menuju Un menjadi Un menuju U1 Karena, Un = a + [n – 1]b Bab 2 | Barisan dan Deret 49Rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah atau Keterangan: Sn = jumlah deret sebanyak n suku pertama a = suku pertama b = beda n = banyaknya sukuAyo MencobaDengan rumus di atas, ayo hitunglah berapa jumlah deret bilangan1 + 2 + 3 + 4+ … … … + 98 + 99 + 100 = …Apakah hasilnya sama dengan penghitungan Gauss?Contoh:Diketahui deret: 13 + 16 + 19 + 22 + ……Jumlah 30 suku pertama deret tersebut adalah ……Alternatif penyelesaian:Suku pertama atau a = 13 b=3 n = 30 2. Deret GeometriEksplorasi 2.6 Jumlah Pasien Terinfeksi Covid-19 Ayo BereksplorasiDi suatu kota tercatat peningkatan yang signifikan dari jumlah pasien yangterinfeksi Covid-19. Berikut data yang dihimpun dari Gugus Covid-19 kota tersebut.50 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XTabel 2.4 Jumlah Pasien Terinfeksi Covid-19 dalam Waktu 5 BulanBulan Januari Februari Maret April MeiJumlah pasien 2020 2020 2020 2020 2020 12 36 108 324 4Jawablah pertanyaan di bawah ini terkait data pada tabel 2.4.• Apakah jumlah pasien membentuk barisan bilangan?• Berapa beda atau rasio dari barisan di atas?• Terdiri dari berapa suku barisan tersebut? Ayo Bekerja SamaAyo cermati jumlah suku-suku deret geometri dengan melengkapi Tabel 2.5melalui data yang ada pada Tabel 2.4 bersama teman kelompokmu.Tabel 2.5 Proses Menemukan Kembali Rumus Jumlah Deret Geometri 1 2 3S2 : jumlah pasien S2 = 4 + 12 = …dua bulan pertamaS3 : jumlah pasien S3 = … + … + …tiga bulan pertama =…S4 : jumlah pasienempat bulan S4 = … + … + … +pertama …=…Dari kolom nomor 3 diperoleh: Bab 2 | Barisan dan Deret 51Sehingga, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret geometri adalah: , untuk r ≠1 dan r >1. , untuk r ≠1 dan r <1.Keterangan: Sn = jumlah deret sebanyak n suku pertama a = suku pertama r = rasio n = banyaknya sukuContoh:Hasil produksi sebuah perusahaan sepeda pada tahun 2020 meningkat setiapbulannya dan membentuk barisan geometri. Produksi pada bulan Januari sebanyak120 unit. Pada bulan April, hasil produksi mencapai 3.240 unit. Berapakah total hasilproduksi sepeda hingga bulan Mei?Alternatif penyelesaian:Hasil produksi Januari: U1 = a = 120Hasil produksi April: U1 = 3.240Total hasil produksi hingga bulan Mei: S5Sebelum menentukan S5, harus dicari ratio [r] terlebih dahulu. [substitusi nilai a] 52 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XJadi, total hasil produksi sepeda hingga bulan Mei adalah sebanyak 14.520 unit.Latihan 2.31. Tentukanlah jumlah bilangan kelipatan 4 di antara bilangan 10 hingga 100.Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soalnomor 1.• Sebelum menentukan jumlah deret bilangan, i Hint kalian harus menentukan terlebih dahulu Untuk mengetahui jumlah Tuliskan terlebih dahulu bilangan banyaknya suku kelipatan 4 dari 10 hingga 100: pada deret tersebut, kalian harus• 12 + … + … + …. + …………….. + …. + …. mengetahui suku pertama, beda• Suku terakhir dari deret bilangan tersebut dan banyak suku adalah ………... terlebih dahulu.• Suku terakhir: Un=a+[n - 1]b• Selanjutnya, menentukan S5 dengan nilai n yang telah diketahui sebelumnya.• Jadi, jumlah bilangan kelipatan 4 di antara bilangan 10 hingga 100 adalah ……………2. Suku pertama dan rasio dari suatu deret geometri berturut-turut adalah 9 dan 3. Tentukan banyak suku jika diketahui jumlah deret bilangan tersebut adalah 9.837.Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawabsoal nomor 2.• Dari soal, diketahui:a = … r = … Sn = …• Dengan tiga informasi di atas, maka dapat ditentukan n = …3. Diketahui deret geometri berikut ini: Tentukan nilai Y. Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 3. • Dengan nilai a ,r dan Sn yang telah terdapat pada soal, kalian akan mendapatkan nilai n. • Setelah memperoleh nilai n, kalian dapat menentukan nilai Y. Bab 2 | Barisan dan Deret 533. Deret Geometri Tak HinggaEksplorasi 2.7 Panjang Lintasan Bola Ayo BereksplorasiBola tenis dilemparkan ke atas setinggi 1 Bolam. Bola tersebut akan terus memantul dilemparsampai akhirnya berhenti. Setelahdicermati, setiap kali bola memantul, Pantulantingginya menjadi kali dari tinggi pertamapantulan sebelumnya. Kira-kira berapapanjang lintasan bola dari awal memantul Pantulansampai berhenti? Ayo bereksplorasi keduadengan melakukan percobaan melemparbola bersama teman kelompokmu, lalu Pantulanjawablah pertanyaan di bawah ini. ke n-1 Pantulan ke-n bola diam Gambar 2.8 Lintasan Bola• Menurutmu, apakah tinggi pantulan bola pada permasalahan di atas membentuk deret geometri? Bagaimana kalian mengetahuinya?• Setelah melakukan percobaan, apakah kalian mengetahui dengan pasti berapa kali bola memantul sampai akhirnya berhenti?Ayo Berpikir KreatifApakah panjang lintasan bola akan sama jika bola dijatuhkan dari ketinggiantertentu atau dilempar dari bawah? Jelaskan jawabanmu.Pada permasalahan diketahui rasio = .Maka total panjang lintasan dapat ditentukan dengan rumus jumlah deret geometriberikut: maka54 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X, dengan n = ∞ -1 < r < 1Deret geometri tak hingga konvergen dengan -1 < r < 1:Deret geometri tak hingga divergen dengan r < -1 atau r > 1: .Keterangan: a = suku pertama r = rasioS∞ = jumlah deret geometri tak hingga Ayo Berpikir KritisMengapa jumlah suku deret geometri tak hingga divergen hasilnya ±∞?Jelaskan jawabanmu! Ayo MencobaAyo berkolaborasi dengan teman kelompokmu, lalu hitunglah berapa totalpanjang lintasan bola tenis pada Eksplorasi 2.7? Bab 2 | Barisan dan Deret 55i Hint Dalam menghitung Panjang lintasan bola, terdapat dua deret tak hingga, yaitu: deret tak hingga ketika bola jatuh dan ketika bola memantul ke atas.Contoh:Tentukan jumlah deret tak hingga dari 81 + 27 + 9 + 3 + …..Alternatif penyelesaian:Deret tak hingga di atas merupakan deret tak hingga konvergen, karena r = masukdalam rentang-1 < r < 1, maka jumlah deret tak hingga adalah:Latihan 2.4 i Hint1. Suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah Dalam menyelesaikan soal x. Tentukan x yang memenuhi sehingga jumlah deret deret tak hingga, geometri tak hingga tersebut adalah 10. kalian harus selalu ingat syarat Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu rasio dari deret kalian dalam menjawab soal nomor 1. konvergen maupun divergen • Soal di atas hanya berisi informasi yaitu S∞ = 10. • Karena S∞ = 10 maka deret geometri tak hingga yang dimaksud pada soal adalah deret geometri tak hingga konvergen.• Hubungkan rumus jumlah deret geometri tak hingga dengan syarat rasio pada deret konvergen.56 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X2. Agar deret geometri 1 + [m - 1] + [m -1]2 + [m - 1]3 + .... merupakan deret konvergen, tentukan nilai m. Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 2. • Tentukan terlebih dahulu rasio dari deret tersebut.3. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 4 + 12 + 36 + 108 + … Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 3. • Selidiki terlebih dahulu, deret geometri tak hingga tersebut merupakan deret konvergen atau divergen. • Tentukan S∞.Melalui subbab 2.2, kalian telah belajar mengenai deret aritmetika dan geometri. Ayo Berefleksi Apa perbedaan deret aritmetika dan geometri? Lalu apa perbedaan antara deret dan barisan? Jelaskan! Apa perbedaan deret geometri tak hingga konvergen dan divergen? Jelaskan Ayo Berpikir Kreatif Berikan contoh aplikasi deret bilangan dalam kehidupan sehari-hari selain dari yang telah dibahas. Berikan contoh aplikasi deret geometri tak hingga konvergen dan divergen selain dari yang telah dibahas pada subbab 2.2.3.Latihan 2.5Soal Pemahaman1. Suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah 28.500 dan suku ke-7 adalah 22.500. Tentukan nilai n agar suku ke-n = 0.2. Suku ketiga dan kelima barisan geometri berturut-turut adalah 20 dan 80. Tentukan suku ke-10 barisan tersebut.3. Hitunglah jumlah dari deret berikut. Bab 2 | Barisan dan Deret 574. 5. Soal Aplikasi6. Pertambahan penduduk di suatu desa setiap tahunnya membentuk barisan geometri. Pada tahun 2021, penduduk bertambah sebanyak 10 orang, lalu pada tahun 2023 sebanyak 90 orang. Berapa jumlah pertambahan penduduk pada tahun 2025?7. Pak Artus seorang peternak ayam. Ia mengumpulkan telur ayam sebanyak 30.000 butir selama 2 bulan. Banyak telur yang Pak Artus kumpulkan membentuk barisan aritmetika. Pada hari pertama ia mengumpulkan telus ayam sebanyak 50 butir. Berapa butir telur yang Pak Artus kumpulkan pada hari terakhir?8. Penambahan jumlah pasien yang terjangkit virus Covid-19 di suatu kota melonjak dua kali lipat di tiap minggunya. Berdasarkan data yang di rumah sakit, pada minggu pertama terdapat 24 orang yang dinyatakan positif. Pada minggu ketiga, tercatat 96 pasien positif Covid-19. Berapa total jumlah pasien pada bulan kedua?9. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Apabila ketinggian yang dicapai saat memantul tiga perlima kali tinggi sebelumnya, tentukan panjang lintasan yang dilalui bola tersebut hingga berhenti memantul.Soal Penalaran10. Keliling lima buah lingkaran membentuk barisan aritmetika. Jika luas lingkaran terbesar adalah 1.386 cm2 dan luas lingkaran terkecil adalah 154 cm2. Tentukan keliling lingkaran pada urutan ketiga.11. Sisipkan 5 bilangan di antara 3 dan 192 agar susunan bilangan tersebut membentuk barisan geometri.12. Sisi segitiga sama sisi panjangnya 20 cm. Di dalamnya terdapat segitiga sama sisi kedua dengan menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisi segitiga pertama. Hal yang sama untuk segitiga ketiga, keempat, kelima, dan keenam. Berapa total keliling semua segitiga?58 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XRefleksiDalam bab ini, kalian sudah belajar mengenai barisan dan deret.1. Apa itu barisan?2. Apa perbedaan barisan aritmetika dan barisan geometri?3. Apa itu deret?4. Apa perbedaan barisan dan deret?5. Apa perbedaan deret aritmetika dan deret geometri?6. Apa perbedaan deret geometri tak hingga konvergen dan divergen?Materi Pengayaan1. Buatlah suatu barisan geometri, dengan menentukan suku pertama, rasio, dan banyak suku pada tabel di bawah ini.Barisan geometri 1.Suku pertama ………….Rasio ………….Banyak suku ………….… , … , … , … , …. , ….2. Dari barisan yang telah kalian buat, ubahlah rasionya menjadi bilangan yang lebih besar, sajikan barisan geometri yang baru pada tabel di bawah ini.Barisan geometri 2.Suku pertama …………. Rasio …………. Banyak suku ………….… , … , … , … , …. , …. Ayo Berpikir KritisApa yang terjadi pada suku-suku pada barisan tersebut setelah diubahnilai rasionya? Jelaskan!3. Prediksilah, bagaimana suku-suku pada barisan tersebut jika rasionya diganti dengan dari rasio pada barisan geometri pertama. Bab 2 | Barisan dan Deret 594. Kalian dapat melihat perubahan dari Ayo Menggunakan Teknologi suku-suku pada barisan geometri serta tampilan grafiknya pada aplikasi Bentuk grafik pada barisan Geogebra melalui link berikut: dapat dilihat menggunakan //www.geogebra.org/m/ aplikasi Geogebra. k8b2b2kn [sumber: Geogebra.org, penulis: Firmansyah]Uji Kompetensi1. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama dari deret berikut:a. 4 + 2 + 1 + …b. 4 + 1 + [-2] + …2. Tentukan suku ke-9 barisan aritmetika, jika diketahui jumlah dari suku ke-2, suku ke-5, dan suku-20 adalah 54.3. Sebuah pipa dipotong menjadi 5 bagian. Panjang masing-masing bagian membentuk barisan geometri. Jika potongan pipa terpendek sepanjang 4 cm, dan potongan pipa terpanjang adalah 324 cm, maka tentukan panjang pipa semula.4. Pada suatu ruang pertemuan, jumlah kursi pada baris tertentu lebih banyak 2 kursi dari baris sebelumnya. Perbandingan banyak kursi pada baris ke-5 dan baris ke-13 adalah 1 : 2. Baris terakhir terisi 50 kursi. Berapa total kursi pada ruang pertemuan tersebut?5. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga … …, jikadiketahui .60 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XKementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi BabRepublik Indonesia, 2021 3Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPenulis: Dicky Susanto, dkkISBN: 978-602-244-526-5Vektor danOperasinyaPengalaman BelajarSetelah mempelajari bab ini, kalian diharapkandapat:1. menyatakan vektor dalam berbagai representasi;2. menunjukkan beberapa jenis vektor;3. menyatakan vektor dalam komponen- komponen sistem koordinat;4. melakukan operasi vektor serta menginterpretasi hasilnya secara geometris dan fisik; serta5. menggunakan operasi vektor untuk menyelesaikan masalah kehidupan sehari- hari.Berapa jauh dan ke mana arahnya? Saat kalian berada di daerah wisata yang luas dan ingin mendatangi beberapaobjek wisata, kalian mungkin menemukan dua jenis petunjuk jalan seperti padaGambar 3.1 dan 3.2 berikut. Petunjuk mana yang memberikan kepastian lokasi? Mengapa?Gambar 3.1 Petunjuk Lokasi Kalian paham bahwa mengetahui jarak dan arah dengan Arah dari suatu lokasi ke lokasi lain merupakan hal yang sangat penting. Pesawat terbang memerlukan kepastianSumber: //kebunrayadaerah. berapa jauh dan ke arah mana apabila berpindah dari krbogor.lipi.go.id/kebun-raya- suatu lokasi ke lokasi lain. Bukan itu saja, besar dan kuningan.html arah kecepatan juga berubah selama perjalanan. Padatnya lalu lintas udara dan angin juga memengaruhi gerak pesawat. Pemain bola dapat memperkirakan arah tendangannya dan kelajuan bola agar bola mencapai rekan setimnya atau masuk gawang. Olahraga permainan memerlukan jarak dan arah serta besar dan arah kecepatan. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar atau nilai dan arah. Contohnya adalah perpindahanGambar 3.2 Petunjuk Lokasi dan kecepatan. Besaran skalar hanya mempunyai besar dengan Arah dan Jarak atau nilai, tidak mempunyai arah. Contoh besaran skalar adalah massa melon 2,00 kg. Semua bilangan Sumber: gudanglampuku.comreal merupakan skalar, dapat bernilai nol atau positif atau negatif. Dalam bab ini, kalian akan belajar tentang terminologi dan notasi vektor. Kalianakan mempelajari hubungan antara vektor dengan sistem koordinat. Komponen-komponen vektor dinyatakan dalam pasangan terurut [x,y] dan [x,y,z]. Kalian akanmenentukan kesamaan atau ekuivalensi dua vektor. Kalian akan belajar beberapajenis vektor. Dua atau lebih vektor dapat dijumlahkan dan dikurangkan sehinggasuatu vektor merupakan kombinasi linier dari dua atau lebih vektor. Vektor juga dapatdikalikan dengan suatu skalar.62 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XPertanyaan Pemantik• Bagaimana merepresentasikan vektor?• Apakah vektor dapat dioperasikan seperti bilangan biasa?• Apa pentingnya peran vektor dalam kehidupan sehari-hari?Kata KunciRuas garis berarah, vektor lawan, vektor berkebalikan, vektor posisi, vektor nol,penjumlahan dan pengurangan vektor, perkalian skalar dengan vektor.Peta Konsep Ayo Mengingat KembaliUntuk mempelajari vektor kalian perlu mengulang kembali sistem koordinatKartesius yang merupakan tempat kedudukan titik-titik. Gambar 3.3 Sistem Koordinat Kartesius Bab 3 | Vektor dan Operasinya 63Sistem koordinat dapat berdimensi dua [dibentuk oleh dua sumbu yang salingtegak lurus] dan berdimensi tiga [dibentuk oleh tiga sumbu yang saling tegak lurussatu sama lain]. Perpotongan sumbu-sumbu terjadi di titik O. Arah dapat dinyatakan dengankanan-kiri, atas-bawah dan depan-belakang. Sudut berkaitan dengan arah. Pada mataangin sudut 0° menunjukkan arah timur, sudut 90° menunjukkan arah utara, danarah timur laut sama dengan sudut 45°. Kalian akan mengulang sifat komutatif dan sifat asosiatif pada penjumlahanvektor. Kalian akan menerapkan aturan perkalian pada operasi perkalian skalardengan vektor.A. Terminologi, Notasi, dan Jenis VektorEksplorasi 3.1 Apa itu Vektor? Ayo BereksplorasiPeta di bawah menunjukkan prediksi kecepatan gerak lempeng bumi yang ditunjukkanoleh anak panah. Batas-batas lempeng ditandai dengan warna putih. Ukuran 5 cm/tahundiberikan oleh anak panah di bawah sebagai patokan. Lempeng bumi yang bergerakdapat bertemu dengan lempeng bumi lainnya. Pertemuan dua lempeng bumi dapatmenyebabkan terjadinya gempa bumi atau tsunami. Gambar 3.4 Prediksi Kecepatan Lempeng Bumi Sumber: //spotlight.unavco.org/how-gps-works/gps-and-tectonics/gps-and-tectonics.html,64 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAyo Bekerja SamaKalian perhatikan anak panah-anak panah dalam gambar dan kerjakan soal-soal dibawah ini.1. Lingkari satu lempeng bumi yang bergerak paling cepat.2. Lingkari satu lempeng bumi yang bergerak paling lambat.3. Apakah ada dua anak panah yang arahnya saling berlawanan?4. Lingkari tiga anak panah yang arah dan panjangnya sama.5. Apakah artinya jika dua anak panah mempunyai arah dan panjang yang sama?6. Pilih tiga anak panah pada lempeng-lempeng yang dilalui Indonesia, namakan anak panah pertama, kedua’ dan ketiga.Gunakan penggaris dan busur untuk menentukan panjang dan arah [sudut] anakpanah.Jadikan panjang 5 cm/tahun [5 cm/year] dalam gambar 3.4 sebagai patokansehingga hasil pengukuran perlu disesuaikan dengan patokan untuk mendapatkankecepatan gerak lempeng. Misalnya, patokan anak panah 5 cm/year mempunyaipanjang 0,6 cm. Salah satu anak panah panjangnya 0,3 cm maka kecepatan geraklempeng adalah . Angka disebut sebagai perbandinganpanjang.Tuliskan hasilnya ke dalam tabel.Cara mengukur sudut adalah sebagai berikut. Gambar 3.5 Cara Mengukur SudutTentukan garis horizontal yang berimpit dengan busur.Bacalah bilangan pada busur yang berimpit dengan arah anak panah. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 65Tabel 3.1 Besar dan Arah Kecepatan Lempeng Bumi Anak Arah [°] Panjang [cm] Perbandingan Kecepatan gerak Panah Panjang [cm/tahun]Pertama Kedua KetigaAyo BerdiskusiMenurut kalian, apa manfaat menggambarkan gerak lempeng dengan anak panahpada peta? Gerak lempeng bumi digambarkan dengan anak panah yang memudahkan parailmuwan untuk memprediksi pertemuan dua lempeng sehingga dapat mengantisipasibencana yang muncul. Panjang anak panah menunjukkan seberapa cepat lempengbergerak. Arah anak panah menunjukkan arah gerak. Anak panah merupakan ruasgaris berarah yang menyatakan vektor. Makin panjang ruas garisnya, makin besarnilai vektornya. Arah vektor ditunjukkan oleh arah panah. B a arah panjang A Gambar 3.6 Vektor dan NotasiNotasi vektor adalah sebagai berikut. dimana A adalah pangkal vektor atau titik pangkal, sedangkan B adalahujung vektor atau titik ujung.Panjang vektor ditulis sebagai . Vektor juga dapat dituliskan dengan menggunakan huruf bercetak tebal,sebagai AB. Penulisan vektor lainnya dengan menggunakan satu huruf yaitu a atau atauA atau . Dalam bab ini notasi vektor menggunakan huruf tebal, tetapi kalian dapatmembuatnya dengan menggunakan anak panah.66 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAyo Berpikir KritisApakah bentuk-bentuk di bawah ini merupakan vektor? Mengapa? Ayo jelaskan!AA BA B B1. Panjang dan Arah VektorKalian perhatikan vektor CD dengan panjang 4 cm dan arahnya membentuk sudut45o dengan horizontal. Kalian dapat menyebutkan vektor CD dengan panjang 4 cmdan arah Timur Laut jika merujuk pada arah mata angin. Gambar 3.7 Besar dan Arah Vektor2. Vektor Negatif atau Vektor LawanAndi berjalan sejauh 100 m dengan arah 30°, kemudian Andi kembali ke posisisemula. Gambar 3.8 Vektor dan Vektor LawanVektor A atau menyatakan perpindahan Andi yang pertama.Vektor -A atau – menyatakan perpindahan Andi yang kedua.Vektor A dan -A sama panjang tetapi berlawanan arah.-A adalah vektor lawan dari A. Vektor negatif atau vektor lawan adalah vektor dengan besar sama, tetapi arah berlawanan dengan suatu vektor. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 67Vektor Nol Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol dan tidak punya arah tertentu atauvektor dengan titik pangkal dan ujung yang sama. Vektor nol dinyatakan dengantitik secara grafis. Jika Andi berjalan sejauh 100 m ke timur kemudian 100 m ke barat maka Andimengalami perpindahan 0. Ayo Berpikir Kritis Apakah vektor A merupakan vektor lawan dari B? Ayo Mencoba Gambarkan vektor lawan dari CD, yaitu vektor DC. Lihat vektor CD pada gambar 3.7. Ayo Berdiskusi Berapa sudut yang dibentuk antara vektor CD dengan vektor DC?3. Vektor Ekuivalen [Vektor yang Sama]Jika ada vektor lain dengan panjang 3 cm dan sudut 45°, maka dikatakan vektortersebut ekuivalen dengan vektor CD. Ketiga vektor, dalam gambar 3.9, sama atau ekuivalen walaupun ketiganyamempunyai titik awal yang berbeda, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut.CD = EF = KLVektor CD ekuivalen dengan vektor EF dan vektor KL.68 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XGambar 3.9 Vektor-Vektor Ekuivalen Suatu vektor ekuivalen dengan vektor lain jika mempunyai besar dan arah yang sama dengan vektor lain tersebut. Pada peta lempeng bumi, coba kalian perhatikan vektor-vektor yang ekuivalenatau sama. Dapatkah kalian memberi contoh dua vektor ekuivalen dalam kehidupansehari-hari?Latihan 3.11. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 60 km/jam dan menuju arah timur. Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornya dan tuliskan skalanya. Petunjuk menyelesaikan soal. Tuliskan nama arah setiap mata angin. Untuk menggambar panjang vektor pikirkan skala 1 cm mewakili berapa km/jam. Beri nama vektor tersebut berdasarkan titik awal [pangkal vektor] dan titik akhir [ujung vektor].2. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 45 km/jam dan menuju arah tenggara. Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornya dan tuliskan skalanya. Petunjuk menyelesaikan soal. Tentukan arah tenggara pada mata angin. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 693. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 60 km/jam dan menuju arah barat daya. Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornya dan tuliskan skalanya.4. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 60 km/jam dan arah gerak membentuk sudut 45°. Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornya dan tuliskan skalanya.5. a. Gambarkan vektor kecepatan pesawat terbang dengan kelajuan 450 km/jam dan arah terbang membentuk sudut 120°. b. Gambarkan vektor negatif dari nomor a.Latihan 3.21. Tentukan nama, besar, dan arah dari setiap vektor di bawah ini. 400 N QR 800 N P 45º 25º 60º 200 N O2. Gambarkan vektor-vektor negatif dari vektor-vektor OP, OQ, dan OR. Gunakan skala untuk menggambar panjangnya.3. Perhatikan peta kota Bandung di bawah ini.70 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XSumber: //goo.gl/maps/hvGqjkmLSGBnADwL9 a. Tentukan satu titik di Universitas Padjadjaran dan satu titik di Lebak Siliwangi. b. Buat vektor dari kedua titik tersebut, tentukan besar dan arah vektornya. c. Buat vektor dengan nilai [besar] yang lebih besar daripada nomor a tetapi arah sama. d. Buat vektor dengan nilai [besar] yang lebih kecil daripada nomor a tetapi arah sama. e. Buat vektor yang ekuivalen dengan vektor pada nomor a. Ayo Berpikir Kritis 4. Pesawat kecil sedang mengisi bahan bakar dari pesawat besar di udara. Mengapa vektor kecepatan pesawat kecil harus ekuivalen atau sama dengan pesawat besar? Ayo Berpikir Kreatif5. Buatlah segitiga sama sisi dan bagilah menjadi beberapa segitiga kecil berukuran sama. Tentukan berapa banyak segitiga tersebut agar diperoleh 3 vektor ekuivalen. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 71Ayo Berefleksi 1. Apakah kalian dapat memberikan contoh-contoh vektor dalam kehidupan sehari-hari? 2. Apakah kalian dapat menggambarkan vektor dan menyebutkan notasinya? 3. Dapatkah kalian menentukan vektor-vektor ekuivalen? 4. Dapatkah kalian membuat vektor negatif atau vektor lawan dari suatu vektor? Ayo Menggunakan Teknologi Kalian dapat menggunakan aplikasi GeoGebra untuk menggambar vektor dan belajar cara memanfaatkannya. //www.geogebra.org/B. Vektor dan Sistem KoordinatPilot pesawat terbang melaporkan posisinya selama penerbangan dari satu titik ketitik lain di udara kepada petugas menara pengawas bandara. Pilot akan meminta izinjika ingin mengubah ketinggian atau dan arah penerbangan. Gambar 3.10 Posisi Pesawat Terbang dalam Sistem Koordinat KartesiusPosisi memerlukan kerangka acuan atau sistem koordinat. Sistem Koordinat Kartesius dicetuskan oleh Rene Descartes, ahli matematikaberkebangsaan Prancis. Descartes menemukannya ketika mengamati lalat merayapdi langit-langit rumahnya.72 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XEksplorasi 3.2 Menggambar Vektor pada Sistem Koordinat Ayo BereksplorasiUntuk menyelesaikan eksplorasi di bawah ini kalian memerlukan kertas berpetak.1. Mula-mula lalat berada di titik asal O dan merayap ke titik P[3, 4]. Lalat bergerak lagi menuju titik Q[–2, –8] hingga berhenti di titik R[2, –5]. Tentukan titik O terlebih dahulu. Gambarkan vektor perjalanan lalat dalam sistem koordinat Kartesius. Gunakan penggaris dan busur untuk menentukan panjang dan sudut.2. Lalat mula-mula berada pada titik [2, 3] kemudian bergerak 1 petak ke barat lanjut dengan 1 petak ke selatan. a. Tentukan titik asal terlebih dahulu, kemudian gambarkan vektornya. Tentukan panjang dan arah vektor. b. Pilih titik asal terlebih dahulu, kemudian gambarkan vektornya. Tentukan panjang dan arah vektor. Ayo Berdiskusi dan Berpikir Kreatif1. Apa perbedaan vektor dengan koordinat suatu titik?2. Apakah pemilihan titik asal pada sistem koordinat memengaruhi besar dan arah vektor? Lokasi suatu titik dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Kartesius. Padasistem koordinat dua dimensi, lokasi titik dinyatakan dalam pasangan terurut [x, y]dan pada sistem koordinat tiga dimensi, lokasi titik dinyatakan dalam [x, y, z]. Jika suatu pesawat berada pada suatu titik tertentu dan waktu tertentu, makadapat diketahui lokasi berikutnya jika diketahui vektor perpindahan pesawat. Teknologi, melalui beberapa aplikasi, menolong manusia untuk memilih alternatifrute perjalanan yang melibatkan arah dan jarak tempuh dengan sistem koordinat. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 73Gambar 3.11 Menentukan Rute dengan Aplikasi Sumber: //waze.com Ayo Berdiskusi Dapatkah aplikasi perjalanan dibuat tanpa sistem koordinat Kartesius? Mengapa?1. Vektor Berdimensi Dua pada Sistem KoordinatPerhatikan sistem koordinat Kartesius di bawah ini. Gambar 3.12 Vektor Berdimensi Dua Koordinat titik O adalah [0, 0] dan Q adalah [x, y]. Vektor satuan diperlukanuntuk menunjukkan bagaimana mencapai titik Q dari titik O. i adalah vektor satuan dalam arah-x [horizontal] dan j adalah vektor satuandalam arah-y [vertikal]. Vektor satuan mempunyai besar 1 satuan. Arah horizontalnegatif dinyatakan dengan -i dan arah vertikal negatif dinyatakan dengan -j.Vektor OQ dinyatakan sebagai berikut.OQ = x i + y j74 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XAda dua komponen yang membentuk vektor OQ,komponen horizontal dan komponen vertikal. Jika darititik O arah komponen horizontal adalah timur-barat,maka arah komponen vertikal adalah utara-selatan.Komponen-x merupakan proyeksi ortogonal vektorpada sumbu-x. Komponen-y merupakan proyeksiortogonal vektor pada sumbu-y. Vektor dengan dua komponen disebut sebagai Gambar 3.13 Panjang Vektorvektor berdimensi dua. Berdimensi Dua Panjang vektor sama dengan jarak antara titik pangkal dengan titik ujung. Jarakantara dua titik sama dengan panjang sisi miring dari segitiga siku-siku.2. Komponen-Komponen Vektor AB = 6 i + 8 j Panjang vektor Gambar 3.14 Vektor AB dan Komponen-Komponennya3. Vektor-Vektor Ekuivalen pada Sistem Koordinat Kartesius Dua mobil berbeda bergerak dengan kelajuan 10 m/detik dan dalam arah yangsama. Keduanya mempunyai vektor kecepatan yang sama walau berada pada posisiberbeda. Gambar 3.15 Dua Vektor Kecepatan Ekuivalen Kalian masih ingat bahwa dua vektor ekuivalen jika mempunyai besar dan arahsama, tidak bergantung pada letaknya. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 75Perhatikan dua vektor perpindahan dalam sistem koordinat di bawah ini. Gambar 3.16 Dua Vektor Ekuivalen pada Sistem Koordinat Vektor u dan v ekuivalen, dinyatakan dengan 4 i + 3 j, walau keduanya mempunyaikoordinat titik pangkal dan koordinat titik ujung yang berbeda. Komponen horizontaldan komponen vertikal adalah 4 dan 3. Ayo Berdiskusi Mengapa vektor-vektor ekuivalen tidak bergantung pada letak mereka?4. Vektor Berdimensi Tiga pada Sistem Koordinat KartesiusVektor dengan tiga komponen, disebut sebagai vektor berdimensi tiga. Jika dari titik Oarah komponen horizontal adalah timur-barat, arah komponen vertikal adalah utara-selatan, maka arah satunya lagi adalah atas-bawah atau depan-belakang atau tegak lurusterhadap bidang xy. Sistem koordinat tiga dimensi dapat diperagakan dengan tiga jari. Ibu jarimenghadap ke kalian adalah sumbu-x, jari telunjuk mengarah ke kanan adalah sumbu-ydan jari tengah mengarah ke atas adalah sumbu-z. Gambar 3.17 Sistem Koordinat Gambar 3.18 Vektor Berdimensi Tiga dengan Jari-Jari OP = x i + y j + z k76 Matematika untuk SMA/SMK Kelas Xi adalah vektor satuan dalam arah-x [horizontal], j adalah vektor satuan dalamarah-y [vertikal] dan k adalah vektor satuan, yang tegak lurus terhadap bidang xy.Arah horizontal negatif dinyatakan dengan -i, arah vertikal negatif dinyatakan dengan-j dan arah negatif dalam z dinyatakan dengan -z.Panjang vektor diberikan sebagai berikut. Gambar 3.19 Panjang Vektor Berdimensi Tiga Vektor dapat saja berada dalam ruang berdimensi-n, tetapi kita hanya belajarvektor berdimensi dua dan vektor berdimensi tiga.5. Vektor Kolom dan Vektor BarisVektor yang dituliskan dalam bentuk kolom adalah vektor kolom. Vektor yangdituliskan dalam bentuk baris adalah vektor baris. Komponen-komponen vektorkolom dituliskan sebagai berikut.• [3 4] atau untuk vektor berdimensi dua• [2 1 3] atau untuk vektor berdimensi tigaVektor-vektor satuan dalam sistem koordinat Kartesius berdimensi dua adalah:• vektor satuan dalam arah horizontal [1 0] atau• vektor satuan dalam arah vertikal [0 1] atauVektor-vektor satuan dalam sistem koordinat Kartesius berdimensi tiga adalah:• vektor satuan dalam arah horizontal [1 0 0] atau• vektor satuan dalam arah vertikal [0 1 0] atau• vektor satuan dalam arah tegak lurus terhadap bidang xy [0 0 1] atau Bab 3 | Vektor dan Operasinya 776. Vektor Satuan dari Suatu VektorVektor satuan dapat saja diperluas pemahamannya.Kalian perhatikan vektor PQ yang berada padasistem koordinat Kartesius. Vektor satuan PQ adalah vektor PQ dibagidengan panjangnya.adalah panjang vektor. Gambar 3.20 Vektor PQVektor satuan menunjukkan arah vektor dalam suatu ruang.Contoh soal: Menentukan vektor satuan dari v.v = [3 6 4]7. Vektor PosisiVektor OA dan OB merupakan vektor posisi, karena dimulai dari titik asal O danberakhir di A dan B. Vektor posisi selalu dimulai dari titik O dan berakhir pada suatutitik lain. Vektor posisi OA dan OB adalah [–3 2] dan [7 5]. Gambar 3.21 Vektor Posisi OA dan OB78 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XVektor posisi adalah vektor yang berpangkal di titik O yang merupakanpusat koordinat dan berujung di suatu titik dalam sistem koordinat.8. Vektor Berkebalikan [6 i + 8 j].Vektor AB = 6 i + 8 jPanjang vektorVektor berkebalikan dari AB adalahVektor berkebalikan adalah vektor yang panjangnya vektor tersebut. Tahukah Kalian?Vektor berkebalikan digunakan dalam mempelajari kisi-kisi dari kristal zatpadat.Latihan 3.31. Nyatakan kedua vektor posisi dalam vektor kolom dan vektor baris. Ayo Berpikir Kreatif2. Gambarkan vektor posisi yang diberikan oleh OP = 2i + 2j – 2k dan OQ = –i + 2j – k Petunjuk tentukan sumbu x, y, dan z. Bab 3 | Vektor dan Operasinya 793. Tentukan vektor satuan dan vektor berkebalikan vektor-vektor dalam soal nomor 2.4. a. Nyatakan vektor-vektor di bawah ini sebagai vektor kolom atau vektor baris.Latihan 3.4 Ayo Berpikir Kritis1. Perhatikan gambar dari aplikasi flightradar24 yang menunjukkan 202.157 pesawat terbang di angkasa Bumi pada tanggal 29 Juni. Pesawat berukuran kecil maupun besar, juga pesawat komersial maupun bukan komersial. Sumber: //www.independent.co.uk/travel/news-and-advice/flights-sky-map-worldwide-air-traffic-aviation- busiest-day-june-a8428451.html Apa peran vektor dan sistem koordinat dalam mengatur lalu lintas penerbangan?80 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X2. Nyatakan vektor satuan dari vektor perpindahan seseorang yang sedang naik gunung dengan bersepeda. Tentukan arahnya dalam sistem koordinat.3. Gunakan ubin di rumahmu sebagai sistem koordinat. Tentukan vektor perpindahan jika kalian berjalan dari suatu lokasi benda ke lokasi benda lainnya, misalnya dari lokasi lemari ke lokasi kursi. Ambillah posisi tengah untuk setiap lokasi.4. Menurut kalian, apakah vektor kecepatan dapat dinyatakan dalam sistem koordinat?1. Apakah kalian dapat menunjukkan komponen-komponen suatu vektor dan menentukan panjangnya?2. Bagaimana menyatakan komponen-komponen dalam vektor kolom dan vektor baris?3. Apa perbedaan vektor posisi, vektor kolom, dan vektor berkebalikan? Ayo Menggunakan Teknologi Kalian dapat menggunakan aplikasi GeoGebra atau yang lainnya untuk menggambarkan vektor pada sistem koordinat Kartesius. //www.geogebra.org/ Bab 3 | Vektor dan Operasinya 81C. Operasi Vektor Jl. Gubernur Sarkawi1. Penjumlahan VektorEksplorasi 3.3 Menentukan Rute dalam Bentuk Penjumlahan Vektor Ayo BereksplorasiPerhatikan peta di bawah ini. Apakah ada rute langsung dari pompa bensin ke Bandara Syamsudin Noor, yangditandai dengan garis merah? Tentu saja tidak bisa. Coba tentukan satu rute yang paling sederhana, gambarkan setiap vektorperpindahannya dari satu lokasi ke lokasi yang lain.Ada berapa vektor yang digambarkan? Kalian akan punya rangkaian vektor yang tidak terputus dengan setiap ujungvektor bertemu dengan pangkal vektor berikutnya. SMPN 15 BanjarbaruBANJARMASIN Jl. Gubernur Sarkawi Jl. Sukamana Jl. Pelita 5 Jl. Lingkar Utara Jl. Kurnia SPBU Pertamina Jl. GolfPELABUHAN TRISAKTI Jl. Ahmad Yani BANJARBARU Bandara Syamsudin Noor PELAHARI SPBU Pertamina Gambar 3.22 Peta BanjarmasinPikirkan satu masalah lagi.Eksplorasi 3.4 Gerak Perahu Menyeberangi Sungai Ayo Bereksplorasi

82 Matematika untuk SMA/SMK Kelas X

Video yang berhubungan