Probabilidade - Conceito de Probabilidade
Experimento Aleatório
Quando estudamos Probabilidade, chamamos qualquer experiência ou ensaio cujo resultado não pode ser previsto de experimento aleatório. Por exemplo, lançar um dado e observar o número da face voltada para cima.
Chama-se de espaço amostral o conjunto formado por todos os resultados possíveis na realização de um experimento aleatório.
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Um exemplo de um evento é obter cara (ou coroa) no lançamento de uma moeda.
A probabilidade de um evento é definida como:
Ou seja,
onde n(A) é o número de possibilidades de ocorrência do evento A e n(W) é o número de elementos do conjunto W (espaço amostral).
Exemplo
No lançamento de um dado qual é a probabilidade de sair um número par?
Num dado, há três possibilidades de número par: 2, 4, 6.
Portanto, A = (2, 4, 6)
Um dado contém 6 números. Portanto, o número de elementos do conjunto W (espaço amostral) é 6:
W=(1, 2, 3, 4, 5, 6)
Note que
Probabilidade de eventos independentes
Dois eventos, A e B, são chamados de independentes quando a ocorrência de um evento não tem qualquer efeito sobre o outro. Por exemplo, se lançarmos um dado duas vezes, a probabilidade de sair o número 4 no primeiro lance é 1/6. A probabilidade de sair o número 5 no segundo lance também é 1/6. O resultado do primeiro lance não afeta o resultado do segundo. Os dois lances – esses dois eventos – são independentes.
Se dois eventos, A e B, são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto da probabilidade individual de cada um.
Isto é: P (A e B) = P(A) x P (B).
Exemplo
Um único dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de sair o número 5 em ambos os lances?
Resposta
A probabilidade que saia o número 5 no primeiro lance é 1/6. Este resultado não afeta o resultado do segundo lance, pois são eventos independentes. A probabilidade que saia o número 5 no segundo lance também é 1/6. Portanto, a probabilidade que saia dois 5s consecutivos é: 1/6 x 1/6 = 1/36.
Probabilidade de eventos exclusivos
Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente: P (A e B) = 0.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos (A ou B), a probabilidade que A ou B ocorra é definida como a soma de suas probabilidades.
Isto é: P(A ou B)= P(A)+P(B).
Exemplos
Se um dado é lançado uma só vez, qual a probabilidade que saia 5 ou 6?
Resposta
Toda vez que se lança um dado, sai apenas um número. Não é possível que num único lance saia dois números simultaneamente. Neste exemplo, os dois eventos (sair 5 e sair 6) são mutuamente exclusivos. A probabilidade que saia 5 é 1/6. A probabilidade que saia 6 também é 1/6. A probabilidade que saia 5 ou 6 é: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Dois eventos, A e B, são inclusivos quando é possível que ocorra A, B ou ambos. Se dois eventos, A e B, são inclusivos, a probabilidade que ocorra A ou B é a soma de suas probabilidades menos a probabilidade que ambos ocorram.
Isto é: P (A ou B ou ambos) = P(A) + P (B) – P (A e B)
Exemplo
Se um dado é lançado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou um número maior que 3?
Resposta
Quando um dado é lançado, é possível que saia um número par e é possível que saia um número maior que 3. Mas é também possível que saia um número que seja par e acima de 3. Por exemplo, o número 4 é par e maior que o número 3.
A probabilidade de se obter um número par é 1/2 (há 3 números pares e 3 números impares).
A probabilidade de se obter um número acima de 3 é 1/2, pois há 3 possibilidades: os números 4, 5 ou 6.
A probabilidade de se obter um número que é par e acima de 3 é 1/3, já que há duas de seis possibilidades: 4 e 6. (O número 5 não é par e os outros números são menores que 3).
Portanto, a probabilidade de se obter um número que seja par ou acima de 3 é:
P(número par ou acima de 3 ou ambos): 1/2 +1/2 - 1/3 = 2/3.
Probabilidade Condicional
Agora considere dois eventos, A e B, e a probabilidade de ocorrer o evento B é afetada pela ocorrência do evento A. Neste caso, ocorre probabilidade condicional.
A probabilidade condicional de que o evento B ocorra se o evento A ocorrer, é definida da seguinte forma:
Exemplo
Uma confeitaria produziu 160 sobremesas. 80 dessas sobremesas contêm chocolate, 60 contêm chantili e 20 contêm ambos. Se uma sobremesa for selecionada randomicamente, qual é a probabilidade de ela conter chocolate? Qual é a probabilidade de a sobremesa conter chocolate e chantili sendo que ela já contém chantili?
Resposta
A probabilidade de a sobremesa conter chocolate é:
P(chocolate) = 100/160 = 5/8
O fato de a sobremesa já conter chantili reduz o espaço amostral para 60 (há 60 sobremesas que contêm chantili). Neste grupo, há 20 sobremesas que contêm chocolate e chantili; portanto, a probabilidade de que seja selecionada uma sobremesa que contenha esses dois ingredientes é 20/60 = 1/3.
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Compreender o conceito de múltiplo e divisor de um número inteiro é muito importante para resolver grande parte dos cálculos matemáticos. Esses conceitos são válidos tanto para os números naturais quanto para os números inteiros, visto que os números naturais estão contidos nos números inteiros:
Leia também: Relação entre conjuntos numéricos: conheça as condições
Múltiplos de um número inteiro
Conhecidos os números inteiros m e n, o número m será múltiplo de n se, e somente se, existir um número inteiro k, de modo que:
m = n ∙ k
Para verificar se um número é múltiplo de outro, basta encontrar um número inteiro de modo que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número.
Exemplos:
a) 35 é múltiplo de 7, pois 35 é igual a 7 multiplicado pelo número inteiro 5.
b) 63 é múltiplo de 21, pois 63 é igual a 21 multiplicado pelo número inteiro 3.
c) 22 não é múltiplo de 3, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulte em 22.
Do exemplo a, perceba que m = 35, n = 7 e que o número a determinar a existência é k = 5. O mesmo vale para os demais exemplos. Perceba também que, caso não encontremos o valor de k, podemos afirmar que os números não são múltiplos.
Leia também: Propriedades da multiplicação e da adição para o cálculo mental
2 ∙ 1 = 2
2 ∙ 2 = 4
2 ∙ 3 = 6
2 ∙ 4 = 8
2 ∙ 5 = 10
2 ∙ 6 = 12
2 ∙ 7 = 14
2 ∙ 8 = 16
2 ∙ 9 = 18
2 ∙ 10 = 20
Da definição de múltiplos, podemos perceber que os números que resultam da multiplicação por 2 são os múltiplos do número inteiro 2. Então, os múltiplos do número 2, que chamamos por M(2), são:
M(2) = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;...}
3 ∙ 1 = 3
3 ∙ 2 = 6
3 ∙ 3 = 9
3 ∙ 4 = 12
3 ∙ 5 = 15
3 ∙ 6 = 18
3 ∙ 7 = 21
3 ∙ 8 = 24
3 ∙ 9 = 27
3 ∙ 10 = 30
De maneira semelhante, perceba que todos os números que são resultados da multiplicação por 3 são múltiplos do número inteiro 3. Veja:
M(3) = {3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;...}
O número zero pertence ao conjunto dos inteiros e sabemos que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, ou seja, o número zero é múltiplo de todo número inteiro.
0 = 0 ∙ k
Divisor de um número inteiro
Conhecidos os números m e n, dizemos que n é divisor de m se n for múltiplo de m, em outras palavras, a divisão de n por m deve deixar resto 0.
Exemplos:
a) 21 é múltiplo de 7, então 7 é divisor de 21.
b) 99 é múltiplo de 11, então 11 é divisor de 99.
c) 12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12.
Nos exemplos a e b, que trazem as divisões de 21 por 7 e 99 por 11, o resto é igual a 0.
Representamos os divisores de um número da seguinte maneira:
a) Divisores de 2: D(2) = {1;2}
b) Divisores de 3: D(3) = {1;3}
c) Divisores de 20: D(20) = {1;2;4;5;10;20}
Propriedade dos múltiplos e divisores
As propriedades que envolvem múltiplos e divisores estão relacionadas com a divisão de dois números inteiros. Das definições, podemos perceber que, quando um número inteiro é múltiplo de outro, ele também é divisível por esse outro número.
Para as duas primeiras propriedades, tome dois números inteiros N e d e considere o algoritmo.
N = d ∙ q + r, com q e r também naturais
N é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r é o resto.
-
Propriedade 1: (N - r) é múltiplo de d, em outras palavras, d é um divisor de (N - r). Logo, (N - r) é o maior número que é menor que N.
-
Propriedade 2: (N - r + d) é múltiplo de d, em outras palavras, d é um divisor de (N - r + d). Logo, (N - r + d) é o menor número que é maior que N.
Exemplo
Na divisão de 230 por 12, temos o quociente (q) igual a 19 e resto (r) igual a 2. Perceba também que N =230 e d =1 e que, de fato, (230 – 2 +12) = 240, que é divisível por 12.
Leia também: Algoritmo da divisão: como utilizar?
Observações importantes
Uma importante consequência da definição de múltiplos e divisores é a implicação na definição de números primos. Um número inteiro p positivo é chamado de primo se tiver como divisores somente o número 1 e si próprio. Então, os números 2, 3 5, 7 são primos porque, na lista de seus divisores, os únicos números que aparecem são o número 1 e o próprio número.
O número inteiro 2 é o único número par que é primo. Os demais pares são todos múltiplos de 2, portanto já perdem a características de números primos.
Tabela dos primos entre 1 e 100
Exercício resolvido
Questão 1. (Uece) Maria observou que suas férias, naquele ano, terminaram no dia 27 de julho, uma segunda-feira, e agendou uma reunião com seus amigos no primeiro feriado do segundo semestre, que no caso era dia 7 de setembro. A reunião foi agendada para um (a):
a) sábado
b) domingo
c) segunda-feira
d) terça-feira
e) sexta-feira
Solução:
Após o dia 27 de julho até a data do feriado, que é dia 7 de setembro, são 4 + 31 + 7 = 42 dias, que, por sua vez, é múltiplo de 7. Assim, a reunião ficou agendada para uma segunda-feira. Letra c.