Cara menentukan jarak antara dua titik bidang kartesius adalah dengan teorema Phytagoras. Teorema ini menyatakan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang saling tegak lurus.
Untuk mengetahui lebih jelas terkait cara menentukan jarak antara dua titik bidang Kartesius menggunakan teorema Phytagoras ini, simak pembahasan berikut.
Cara Menentukan Jarak antara Dua Titik Bidang Kartesius
Ilustrasi sumbu koordinat. Foto: iStockDikutip dari Modul Pembelajaran Matematika Edisi Pembelajaran Jarak Jauh pada Masa Pandemi Covid-19 untuk SMP Kelas VII oleh M. Naufal Faris dan Tenia Kurniawati, cara menentukan jarak dua titik pada bidang koordinat Kartesius adalah dengan teorama Phytagoras.
Sistem koordinat Kartesius sendiri ditemukan oleh ahli matematika asal Prancis bernama Rene Descrates pada abad ke-17. Penemuannya ini sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.
Sistem koordinat Kartesius pada dasarnya terdiri dari dua jenis sistem koordinat, yaitu koordinat Kartesius 2D dan sistem koordinat Kartesius 3D.
Pada koordinat Kartesius, terdapat dua garis yang saling tegak lurus dan berpotongan pada sebuah titik yang disebut titik pangkal. Garis-garis ini kemudian disebut sumbu koordinat. Inilah yang menjadi acuan dalam menentukan letak suatu titik.
Garis mendatar atau horizontal dikenal dengan sumbu X atau absis, sedangkan garis tegak atau vertikal disebut sumbu Y atau ordinat. Suatu titik pada sistem koordinat Kartesius digambarkan sebagai (x, y).
Sistem koordinat ini yang disebut sebagai sistem koordinat Kartesius 2D, yang ditentukan dengan pemberian nilai pada dua jenis sumbu.
Sementara untuk sistem koordinat Kartesius 3D, bisa diaktifkan dengan cara menambahkan sumbu Z sebagai faktor penentu penempatan titik pada sistem koordinat tersebut. Sistem penulisan koordinat Kartesius 3D adalah (x, y, z).
Namun, artikel ini hanya akan membahas mengenai cara menentukan dua buah titik pada bidang koordinat Kartesius atau yang disebut sistem koordinat Kartesius 2D. Berikut penjelasan salah satu contohnya.
Sebagai contoh, P1(x1, y1) dan P2 (x2, y2) adalah dua buah titik pada bidang datar seperti pada gambar berikut.
Gambar 1. Foto: Modul Pembelajaran Matematika Edisi Pembelajaran Jarak Jauh pada Masa Pandemi Covid-19 untuk SMP Kelas VIISelanjutnya, dari dua titik yang diketahui di atas akan ditentukan jarak keduanya dengan cara sebagai berikut.
Gambar 2. Foto: Modul Pembelajaran Matematika Edisi Pembelajaran Jarak Jauh pada Masa Pandemi Covid-19 untuk SMP Kelas VIIMelalui titik P1 ditarik garis sejajar sumbu X dan melalui titik P2 ditarik garis sejajar sumbu Y. Kedua garis ini berpotongan di titik T dan membentuk segitiga P1TP2 yang berupa segitiga siku-siku.
Dari gambar di atas dapat ditentukan bahwa panjang ruas garis |P1T| = |x2 – x1|, sedangkan panjang ruas garis |P2T| = |y2 – y1|).
Selanjutnya, untuk menentukan panjang ruas garis |P1P2| (yang merupakan jarak kedua titik yang dicari) dapat dicari dengan menggunakan rumus teorema Pythagoras, yaitu sebagai berikut.
Gambar 3. Foto: Modul Pembelajaran Matematika Edisi Pembelajaran Jarak Jauh pada Masa Pandemi Covid-19 untuk SMP Kelas VIISebagai contoh, misalkan P1(1, 1) dan P2 (-3, 4), maka jarak P1 dan P2 adalah:
Jadi jarak antara titik P1(1, 1) dan P2 (-3, 4) adalah 5 satuan panjang.
Blog Koma - Jarak dua titik dan titik ke garis merupakan salah satu materi yang cukup penting, biasanya dipakai salah satunya pada materi persamaan lingkaran. Pada artikel ini, kita akan mempelajari jarak antara dua titik, jarak sebuah titik ke garis, dan menentukan titik tengah jika diketahui dua titik.
Jarak dua titik dan titik ke garis ada kaitannya dengan persamaan garis lurus, khususnya materi jarak titik ke garis. Garis yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan garis lurus yaitu $ ax + by + c = 0 \, $ . Untuk konsep jarak yang dipakai adalah jarak terdekat baik dua titik maupun titik ke garis.
Jarak dua titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$)
Untuk menentukan jarak titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$), kita misalkan jaraknya sebagai mutlak dari AB. Sehingga rumus jaraknya :
$\begin{align}
\text{jarak } & = \sqrt{(\text{selisih } x)^2 + (\text{selisih } y)^2} \\
|AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\
& \text{ atau } \\
|AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \end{align} $
Jarak titik A($x_1,y_1$) ke garis $ ax+by+c=0 $
Perhatiakan gambar dibawah ini. Terlihat bahwa jarak titik A ke garis adalah jarak terdekatnya yang dicapai pada saat garis AD tegak lurus dengan garis $ ax+by+c=0 . \, $ Jarak titik A ke garis $ ax+by=0 $ sama dengan jarak A ke titik D, hanya saja sulit untuk mencari titik D pada garis $ ax+by+c=0 $ . Tapi tenang saja, kita langsung bisa menggunakan rumus jarak titik ke garis tanpa harus mencari titik D.
$\begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \end{align} $ Contoh : Tentukan jarak titik A(3,5) ke garis $ -3x - 4y = - 9 $ ! Penyelesaian : *). Persamaan garis dirubah dalam bentuk $ ax+by+c=0 $ $ -3x - 4y = - 9 \rightarrow -3x - 4y + 9 = 0 $ *). Jarak A($x_1,y_1$) = (3,5) ke garis $ -3x - 4y + 9 = 0 $ $ \begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3x - 4y + 9}{\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3.3 - 4.5 + 9}{\sqrt{9 + 16}} \right| \\ & = \left| \frac{-20}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-20}{ 5 } \right| \\ & = \left| -4 \right| \\ & = 4 \end{align} $ Jadi, jarak titik ke garisnya adalah 4.
Menentukan titik tengah jika diketahui dua titik
Misalkan ada titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) serta titik tengahnya C, kita akan menentukan titik tengah yaitu titik antara titik A dan titik B.
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \end{align} $ Contoh : Diketahui titik A(3,6) dan B(1, -2). Tentukan titik tengah antara titik A dan titik B! Penyelesaian : *). Menentukan titik tengahnya, misalkan titik C : $\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{3 + 1}{2} , \frac{6 + (-2)}{2} \right) \\ & = \left( \frac{4}{2} , \frac{4}{2} \right) \\ & = \left( 2,2 \right) \end{align} $
Jadi, titik tengahnya adalah C(2,2).