1
Tente adivinhar o valor através da eliminação. É mais difícil descobrir raízes quadradas não inteiras, mas ainda assim é possível.
- Suponhamos que você queira encontrar a raiz quadrada de 20. Você sabe que 16 é um número inteiro perfeito com raiz quadrada igual a 4 (4×4=16). E, igualmente, 25 tem uma raiz quadrada igual a 5 (5×5=25), de modo que a raiz quadrada de 20 deverá estar esses valores.
- Você poderia supor que a raiz quadrada de 20 seja 4,5. Agora, basta elevar 4,5 ao quadrado para conferir a suposição. Isso significa que é necessário multiplicar o número por ele mesmo: 4,5×4,5. Veja se a resposta está acima ou abaixo de 20. Se a suposição estiver longe do resultado esperado, realize a tentativa com outro número (talvez 4,6 ou 4,4) e refine a suposição até chegar a 20.[4] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
- Por exemplo, 4,5×4,5=20,25. Logicamente, você deve tentar um número menor, provavelmente seguindo com 4,4×4,4=19,36. Logo, a raiz quadrada de 20 deverá estar entre 4,5 e 4,4. Que tal seguirmos com 4,445×4,445? A resposta será 19,758, que está bem mais próxima. Se continuar usando diferentes números nesse processo, você chegará finalmente a 4,475×4,475=20,03. Arredondamos, teremos o número 20.
2
Use o processo da média. Esse método também começa com a sua tentativa de encontrar os números inteiros mais próximos entre os quais estará o valor desejado.[5] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
- A seguir, divida o número por uma das raízes quadradas. Pegue a resposta, calcule a média e o valor pelo qual a divisão foi feita (a média corresponde à soma dos dois números dividida por dois). A seguir, pegue o número original e divida-o pela média obtida. Finalmente, calcule a média dessa resposta com a primeira média obtida.
- Parece complicado? Pode ser mais fácil acompanhar um exemplo. O número 10 se situa entre as duas raízes perfeitas de 9 (3×3=9) e 16 (4×4=16). As raízes quadradas desses números são 3 e 4. Então, divida 10 pelo primeiro número, 3. Obtém-se o resultado 3,33. Agora, tire a média entre 3 e 3,33 somando os dois números em conjunto e dividindo a soma por 2. Você obterá o resultado 3,1623.
- Revise os cálculos multiplicando a resposta (nesse caso, 3,1623) por ela mesma. De fato, 3,1623 multiplicado por 3,1623 será igual a 10,001.
A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.
O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?
Tentativa e erro
Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:
Qual a raiz quadrada de v196?
Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:
11 * 11 = 121
12 * 12 = 144
13 * 13 = 169
14 * 14 = 196
É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.
Cálculo por fatoração
A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:
Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:
Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:
Veja outro exemplo com v1225:
Desmembrando o número temos:
Raiz quadrada não exata
Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:
7,1 * 7,1 = 50,41
7,2 * 7,2 = 51,84
7,3 * 7,3 = 53,29
7,4 * 7,4 = 54,76
O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.
Veja outro exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:
14,1 * 14,1 = 198,81
14,2 * 14,2 = 201,64
14,3 * 14,3 = 204,49
14,4 * 14,4 = 207,36
14,5 * 14,5 = 210,25
14,6 * 14,6 = 213,16
14,7 * 14,7 = 216,09
14,8 * 14,8 = 219,04
Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:
14,71 * 14,71 = 216,38
14,72 * 14, 72 = 216,67
14,73 * 14,73 = 216,97
14,74 * 14,74 = 217,26
14,75 * 14,75 = 217,56
14,76 * 14,76 = 217,85
14,77 * 14,77 = 218,15
Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.
O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.
Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:
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Raiz quadrada de um número x é a operação matemática que define um número que, multiplicado por si próprio, resulta no número x. Por exemplo, as raízes de 4 podem ser 2 ou -2, pois tanto 2 × 2 quanto -2 × -2 dão 4.
Todavia, o símbolo “√”, comumente utilizado, não significa simplesmente raiz quadrada. Ele expressa, na verdade, a raiz quadrada não negativa, também chamada de raiz quadrada principal. No caso, portanto, tem-se que √4 = 2.
Essa operação é importante para a resolução de uma série de problemas algébricos, como as equações do segundo grau e as funções matemáticas. Por isso, a matéria é obrigatória para a prova de Matemática no Enem. Neste post, você encontra diversas dicas detalhadas sobre o tema. Continue a ler para dominar os conhecimentos da raiz quadrada!
Conheça os elementos da raiz quadrada
A raiz quadrada é uma especialidade da radiciação, uma forma mais geral para se obter raízes numéricas. Embora o assunto pareça complicado, para utilizá-lo com fluência basta compreender os termos básicos e treinar suas técnicas. Tomemos como exemplo a expressão √n = x.
O primeiro elemento da raiz quadrada é o símbolo “√”, conhecido como radical. Conta-se que ele se origina da letra ج, utilizada pelos árabes, que são protagonistas fundamentais na história da Matemática. Uma hipótese alternativa é que ele vem da letra r, por causa do termo radix, de origem latina.
O segundo elemento da radiciação é o índice, porém, ele fica omitido no caso da raiz quadrada. O índice é esse número que fica contido na dobra do radical, por exemplo, na raiz cúbica de x tem-se ³√n.
Uma curiosidade é que, em radiciação, cada índice demanda uma nomenclatura, na seguinte ordem:
- raiz quadrada: índice 2 (o índice não precisa ser escrito);
- raiz cúbica: índice 3;
- raiz quarta: índice 4;
- raiz quinta: índice 5 (e assim por diante).
O terceiro elemento de uma expressão de raiz é o radicando, isto é, o número n do qual se deseja obter a raiz. Por fim, o quarto elemento é a raiz propriamente dita, x, que é o resultado da operação. A seguir, cada elemento será abordado separadamente.
Índice
O índice, portanto, é o elemento que caracteriza a operação da radiciação, definindo o tipo de raiz desejada. Para se ter uma ideia de como ele modifica a expressão, um bom exemplo é a diferença entre a raiz quadrada e a raiz quarta do número 81.
No primeiro caso, com índice 2, tem-se √81 = x. Como 92 = 81, isto é, 9 × 9 = 81, a resposta para a raiz quadrada desejada será simplesmente 9.
No segundo caso, com índice 4, as coisas mudam. Para encontrar o resultado de 4√81 = x, deve-se descobrir um número que, elevado à quarta potência, resulta em 81. No caso, esse número será 3, pois 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81, dado que 3 × 3 = 9 × 3 = 27 × 3 = 81.
Uma boa dica para dominar os diferentes índices é lembrar que ele sempre traz uma consequência exponencial para a operação solicitada. Em outras palavras, a expressão √n = x equivale a dizer que x2 = n. Do mesmo modo, considerando que o índice seja um número y inteiro, a expressão y√n = x equivale a dizer que xy = n.
Radical
Em relação ao radical, basta saber que ele é o símbolo que convoca a operação de radiciação. Onde houver o “√” presente, deve-se utilizar os conhecimentos matemáticos para encontrar a raiz solicitada.
Raiz
A raiz, por sua vez, é o resultado da operação de radiciação realizada. Na expressão √n = x, a raiz é o número x que, elevado ao quadrado (ou multiplicado por ele mesmo) será igual a n. Em outras palavras, se a raiz for x e o radicando for n, teremos que x2 = n.
Radicando
O radicando, portanto, é o número a partir do qual se deseja extrair a raiz. Ele é representado pelo n na expressão √n = x. O quadrado de x, portanto, deverá ser exatamente igual ao radicando n, de modo que x2 = n.
Entenda quais são os principais tipos
Como dissemos, a operação de raiz quadrada resulta em um número x que, multiplicado por ele mesmo, é igual a outro número n. Dependendo do valor obtido, porém, a raiz quadrada pode ser classificada em dois tipos, o quadrado perfeito ou o quadrado imperfeito. Eles serão mais bem explicados a seguir.
Cabe lembrar, em todo caso, que a raiz quadrada é apenas um dos tipos da operação mais geral da radiciação. Diferentes índices podem ser usados para se obter raízes cúbicas, raízes quartas, raízes quintas etc.
Quadrado perfeito
O primeiro tipo de raiz quadrada ocorre quando o resultado obtido é um número sem casas decimais. Por exemplo, em √25 = 5, o valor encontrado corresponde a um inteiro. Nesse caso, a raiz será denominada quadrado perfeito, podendo ser chamada de raiz quadrada exata também.
Quadrado imperfeito
O segundo tipo de raiz quadrada ocorre quando o resultado obtido não é um número inteiro. Nesse caso, a raiz será denominada quadrado imperfeito, e pode ser chamada de raiz quadrada não exata também.
Em qualquer situação de quadrado imperfeito, os valores encontrados estarão incluídos nos números irracionais, apresentando casas decimais infinitas. Por esse motivo, para calcular a resposta, deve ser usado um método de aproximação.
Saiba como calcular
Embora possa parecer complicado, calcular a raiz quadrada é algo simples. Basta encontrar o número x que, multiplicado por ele mesmo, resulta no número n, o radicando. Repetindo, x2 = n.
Essa operação não apresenta grandes dificuldades no caso de raiz quadrada exata. Porém, quando se trata de raiz quadrada não exata, é importante conhecer o passo a passo e inclui-lo com atenção no plano de estudos. Essa diferença vai ficar mais clara com os exemplos a seguir.
Raiz quadrada exata
Aqui, trata-se apenas uma questão de prática, para que os números inteiros sejam assimilados aos seus quadrados correspondentes. Um método que ajuda é trabalhar com limites superior e inferior.
Por exemplo, deseja-se encontrar √324, pressupondo que o resultado seja um número inteiro. Como 172 = 289 e 192 = 361, a resposta deverá estar entre esses dois números. Logo, tem-se que 182 = 18 × 18 = 324.
Raiz quadrada não exata
Para a raiz quadrada não exata, a situação é similar à dos limites inferior e superior, porém com a dificuldade extra dos números decimais. Porém, não é nada para se preocupar, pois tudo pode ser resolvido de maneira tranquila seguindo o método adequado.
O ponto central é fazer uma projeção entre as raízes próximas do número desejado. Nesse método, opera-se por aproximação, adicionando uma ou mais casas decimais ao número inteiro.
Por exemplo, para se obter √70, parte-se do número 8, pois √64 = 8. Assim:
8,1 × 8,1 = 65,61
8,2 × 8,2 = 67,24
8,3 × 8,3 = 68,89
8,4 × 8,4 = 70,56
Logo, o resultado por aproximação, com uma casa decimal, é 8,4. Para se obter maior precisão, é possível adicionar mais casas decimais, seguindo o mesmo método.
Treine os cálculos de forma constante
Se ainda parece difícil, fique tranquilo. Como qualquer conteúdo relacionado à Matemática e suas Tecnologias, dominar a técnica da raiz quadrada exige prática e treinamento constantes. Continue a exercitar para ficar cada vez melhor na resolução dos problemas.
Ocasionalmente, é interessante realizar um simulado de vestibular. Além disso, os recursos do Trilha do Enem permitem testar conhecimentos e criar planos de estudos personalizados. A plataforma pode ajudar a alcançar êxito no vestibular tradicional e também no vestibular online.
Acima de tudo, é indispensável continuar desenvolvendo as aptidões em Matemática, com especial atenção para as questões mais importantes que podem ser cobradas na prova. Por isso, não deixe de assistir ao vídeo a seguir, que contém mais dicas preciosas.
Gostou de relembrar os principais aspectos da raiz quadrada? As coisas ficam mais simples quando se tem em mãos um roteiro apropriado, feito por profissionais qualificados, concorda?
Então, aproveite as dicas da nossa planilha e descubra todos os segredos sobre como organizar os estudos para o Enem!