Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física
A média geométrica é definida, para números positivos, como a raiz n-ésima do produto de n elementos de um conjunto de dados.
Assim como a média aritmética, a média geométrica também é uma medida de tendência central.
É usada com mais frequência em dados que apresentam valores que aumentam de forma sucessiva.
Onde,
MG: média geométrica n: número de elementos do conjunto de dados
x1, x2, x3, ..., xn: valores dos dados
Exemplo: Qual o valor da média geométrica entre os números 3, 8 e 9?
Como temos 3 valores, iremos calcular a raiz cúbica do produto.
Aplicações
Como o próprio nome indica, a média geométrica sugere interpretações geométricas.
Podemos calcular o lado de um quadrado que possui a mesma área de um retângulo, usando a definição de média geométrica.
Exemplo:
Sabendo que os lados de um retângulo têm 3 e 7 cm, descubra qual a medida dos lados de um quadrado com a mesma área.
Uma outra aplicação muito frequente é quando queremos determinar a média de valores que alteraram de forma contínua, muito usada em situações que envolvem finanças.
Exemplo:
Um investimento rende no primeiro ano 5%, no segundo ano 7% e no terceiro ano 6%. Qual o rendimento médio desse investimento?
Para resolver esse problema devemos encontrar os fatores de crescimento.
- 1.º ano: rendimento de 5% → fator de crescimento de 1,05 (100% + 5% = 105%)
- 2.º ano: rendimento de 7% → fator de crescimento de 1,07 (100% + 7% = 107%)
- 3.º ano: rendimento de 6% → fator de crescimento de 1,06 (100% + 6% = 106%)
Para encontrar o rendimento médio devemos fazer:
1,05996 - 1 = 0,05996
Assim, o rendimento médio dessa aplicação, no período considerado, foi de aproximadamente 6%.
Para saber mais, leia também:
Exercícios Resolvidos
1. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 6, 10 e 30?
Média Geométrica (Mg) = ⁵√2 . 4 . 6 . 10 . 30
MG = ⁵√2 . 4 . 6 . 10 . 30
MG = ⁵√14 400
MG = ⁵√14 400
MG = 6,79
2. Sabendo as notas mensais e bimestrais de três alunos, calcule as suas médias geométricas.
A | 4 | 6 |
B | 7 | 7 |
C | 3 | 5 |
Média Geométrica (MG) Aluno A = √4 . 6
MG = √24
MG = 4,9
Média Geométrica (MG ) Aluno B = √7 . 7
MG = √49
MG = 7
Média Geométrica (MG ) Aluno C = √3 . 5
MG = √15
MG = 3,87
Resolva esta lista de exercícios sobre a média geométrica. Utilize as questões resolvidas para verificar seu aprendizado sobre média geométrica de um conjunto.
Questão 1
A média geométrica entre os números 12, 9, 4 e 1 é igual a:
A) 36
B) 24
C) 12
D) 6
E) 3
Questão 2
Um cubo possui volume equivalente ao de um prisma com comprimento igual a 10 cm, largura igual a 4 cm e altura igual a 25 cm, então, a medida do lado do cubo em centímetros é de:
A) 5 cm
B) 8 cm
C) 10 cm
D) 12 cm
E) 15 cm
Questão 3
O valor de uma ação na bolsa de valores sofreu grande oscilação durante a semana. No primeiro dia, ela teve um aumento de 5%; no segundo dia, de 16%. No terceiro e quarto dias, ela se manteve constante. No quinto e no sexto dias, houve um aumento de 27% e 25%, respectivamente, e no sétimo dia, ela se manteve com o valor do dia anterior. Calculando a média geométrica entre as quatro oscilações ocorridas, encontraremos:
A) Aumento de aproximadamente 18%.
B) Aumento de aproximadamente 16%.
C) Aumento de aproximadamente 15%.
D) Aumento de aproximadamente 13%.
E) Aumento de aproximadamente 11%.
Questão 4
A média entre os números x, 4 e 12 é igual a 6, então, o valor de x é:
A) 3
B) 3,5
C) 4
D) 4,5
E) 5
Questão 5
A diferença entre a média aritmética e a média geométrica do conjunto A {4,6,8,10} é, aproximadamente, igual a:
A) 0,38
B) 0,44
C) 0,45
D) 0,52
E) 0,63
Questão 6
(IBFC) A média geométrica aproximada dos dois casos abaixo está descrita na alternativa:
10/set | 15/set | 20/set | 25/set | 30/set | |
Caso 1 | 5 | 4 | 2 | 4 | 5 |
Caso 2 | 2 | 6 | 8 | 4 | 5 |
A) 2,41
B) 4,16
C) 5,16
D) 5,54
E) 2,92
Questão 7
Determinado investimento teve um aumento de 4% no primeiro mês; no segundo mês, um aumento de 5%; e no terceiro mês, um aumento de 10%, então, o rendimento médio do investimento feito é, aproximadamente, de:
A) 4%
B) 5%
C) 6%
D) 7%
E) 8%
Questão 8
(FCC) A média geométrica dos números 4, 8 e 16 é:
A) maior que a respectiva média aritmética.
B) inferior a 6.
C) igual a 8.
D) igual a 4.
E) superior a 9.
Questão 9
Analise os conjuntos a seguir:
A = {2, 6, 30} e B = {3, 5, 24}
Calculando a média geométrica e a média aritmética de cada um dos conjuntos, podemos afirmar que:
A) A média geométrica de A é maior que a média geométrica de B.
B) A média geométrica de B é maior que a média geométrica de A.
C) A média geométrica de A é igual à média geométrica de B.
D) A média geométrica de B é igual a 360.
E) A média geométrica de A é igual a 60.
Questão 10
(CKM) Ana, Bruna e Camila estudam em escolas diferentes com professoras de matemática diferentes, e estas usam métodos diferentes para determinar a média de nota de prova obtida por seus alunos. A professora de Ana utiliza o método da média ponderada, enquanto que as professoras de Bruna e Camila utilizam, respectivamente, a média aritmética e a média geométrica. Sabendo que tanto a professora de Ana como as professoras de Bruna e Camila aplicam três provas durante o bimestre, considere a tabela a seguir, que contém as notas obtidas por Ana, Bruna e Camila nas provas que cada uma delas realizou no primeiro bimestre de 2013.
Assinale, a seguir, a alternativa que apresenta, respectivamente, a média de nota de prova obtida por Ana, Bruna e Camila de acordo com o método utilizado por suas respectivas professoras:
A) 4, 5 e 4
B) 5, 4 e 4
C) 4, 4 e 5
D) 4, 5 e 5
E) 5, 5 e 4
Questão 11
Em uma fábrica que produz embalagens, entre as fabricações há uma caixa com base retangular cujas bases medem 6 cm e 18 cm. Para atender a um pedido de um cliente, foram fabricadas caixas com bases quadradas que ocupassem a mesma área que a caixa de base retangular. Então, a medida do lado da nova caixa é: (Dado: √3 = 1,7)
A) 10,0 cm
B) 10,2 cm
C) 12,0 cm
D) 20,1 cm
E) 13,7 cm
Questão 12
(Mackenzie - adaptada) Se a média aritmética entre dois números é 30 e a geométrica é 18, então o módulo da diferença entre esses dois números é:
A) 45
B) 60
C) 50
D) 48
E) 52
Resposta - Questão 2
Alternativa C
Sabemos que o volume é o produto dos três lados, então, temos que:
Resposta - Questão 3
Alternativa A
Transformando em números decimais, temos que:
Aumento de 5% → 1,05
Aumento de 16% → 1,16
Aumento de 27% → 1,27
Aumento de 25% → 1,25
Então, calculando a média geométrica entre esses números, temos que:
Resposta - Questão 4
Alternativa D
Calculando a média geométrica, temos que:
Resposta - Questão 5
Alternativa A
Calculando a média geométrica, temos que:
Agora, calculando a média aritmética, temos que:
A diferença entre a média aritmética e a geométrica é 7 – 6,62 = 0,38.
Resposta - Questão 6
Resposta - Questão 7
Alternativa C
Aumento de 4% → 1,04
Aumento de 5% → 1,05
Aumento de 10% → 1,1
O aumento foi de, aproximadamente, 6%.
Resposta - Questão 8
Alternativa C
Calculando a média geométrica, temos que:
Resposta - Questão 9
Alternativa C
Calculando a média geométrica do conjunto A e do conjunto B, temos que:
As médias geométricas são iguais.
Resposta - Questão 10
Alternativa A
Calculando a nota de Ana pela média ponderada, temos que:
Calculando a nota de Bruna por média aritmética, temos que:
Calculando a nota da Camila por média geométrica, temos que:
Então as médias são 4, 5 e 4.
Resposta - Questão 11
Alternativa B
Sabemos que a área é o produto dos dois lados, então, vamos calcular a média geométrica da base do retângulo para encontrarmos o lado do quadrado:
Resposta - Questão 12
Alternativa D
Seja x e y os números, pela média aritmética, temos que:
Pela média geométrica, temos que:
Então, para encontrar o valor de x e y, vamos utilizar o sistema de equações. Isolando a primeira equação e substituindo na segunda, temos que:
Resolvendo a equação do segundo grau, temos que:
a = -1 b = 60 c = -324 Δ = b² – 4ac Δ = 60² – 4 (-1) (-324) Δ = 3600 – 1296
Δ = 2304
Existem dois resultados possíveis. Se x = 6, sabemos que:
x + y = 60 6 + y = 60 y = 60 – 6
y = 54
Se x = 54
54 + y = 60 y = 60 – 54
y = 6
Então, a diferença entre x e y em módulo é |54 – 6| ou |6 – 54|. Como, em ambos os casos, o resultado é o mesmo, temos que:
|54 – 6| = |6 – 54| = |48| = 48