Bentuk grafik fungsi eksponen dari kiri ke kanan turun jika

Table of Contents Show

c. Grafik Fungsi Eksponen
d. Logaritma dan Sifat-sifatnya
Video yang berhubungan

p = 1001 - 0,035 k atau p = 1000,965 k

c. Grafik Fungsi Eksponen

Sekarang kita akan menggambar grafik fungsi eksponen. Dengan memperhatikan karakteristik-karakteristik grafik fungsi eksponen ini kita akan melihat beberapa sifat dari fungsi eksponen tersebut. Sebagaimana telah kita ketahui bahwa fungsi eksponen adalah fungsi dengan variabelnya variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu bilangan tertentu, sehingga secara singkat dapat kita tulis dalam bentuk y = fx = a x dengan a 0 dan a 1. Untuk mempermudah menggambar grafik fungsi eksponen ini, kita tinjau nilai konstanta atau bilangan tertentunya, yaitu kemungkinan-kemungkinan dari nilai a. Berdasarkan pengertian fungsi eksponen y = a x dengan a 0 dan a 1, maka kita dapat membagi grafik fungsi eksponen menjadi dua bagian besar, yaitu : 1. y = a x dengan a 1 Dari sini kita dapat melihat, bahwa untuk x semakin besar maka harga y tentunya akan semakin besar pula. Sedangkan jika x semakin kecil, maka tentunya y akan semakin kecil pula Gambar 1.1. x menuju y akan menuju x menuju - y akan menuju 0 2. y = a x dengan 0 a 1 Untuk a yang lebih kecil dari satu dan lebih besar dari nol, maka jika x semakin besar tentunya y semakin kecil, dan jika x semakin kecil tentunya y senakin besar Gambar 1.2. x menuju y akan menuju 0 x menuju - y akan menuju y y = a x y = a x y a 1 0 a 1 0,1 0,1 0 x 0 x Gambar 1.1 Gambar 1.2 Untuk lebih jelasnya lagi tentang grafik fungsi eksponen ini kita lihat beberapa contoh berikut ini. Contoh 1.6 Gambarlah grafik fungsi eksponen fx = 2 x dengan x R. Penyelesaian : 1 Titik-titik pada grafik Untuk mempermudah menggambarnya, terlebih dahulu kita pilih beberapa titik yang terletak pada grafik tersebut dengan membuat tabel seperti berikut ini. x - … -2 -1 0 1 2 … y = fx 0 … 4 1 2 1 1 2 4 … Titik potong dengan sumbu y : f0 = 2 = 1. Grafik memotong sumbu y di titik 0,1. Selanjutnya dengan mengambil beberapa harga x di sebelah kiri dan sebelah kanan x = 0, kita dapatkan beberapa titik yang terletak pada grafik. Ternyata untuk x maka y , dan untuk x - ternyata y 0. 2. Asimtot-asimtotnya Titik potong dengan sumbu x : jika grafik memotong sumbu x, maka y = fx = 0 berarti 2 x = 0. Ini adalah hal yang tidak mungkin sebab 2 x 0 untuk x R. Hal ini berarti grafik fungsi tidak pernah memotong sumbu x. Asimtot tegaknya tidak ada, sebab untuk x ternyata y . Asimtot datarnya = 0, sebab untuk x - ternyata y 0. Didefinisikan, bahwa asimtot sesuatu garis lengkung adalah garis lurus yang semangkin didekati garis lengkung itu, sehingga dapat diambil suatu titik pada garis lengkung itu yang jaraknya pada garis lurus dapat dibuat sekecil- kecilnya. Sedangkan secara aljabar, asimtot suatu garis lengkung dapat didefinisikan sebagai garis singgung pada garis lengkung di tempat tak berhingga. y 4 3 2 0,1 1 -2 -1 0 1 2 x Gambar 1.3 3. Daerah asal dan daerah hasil Karena 2 x terdefinisi untuk setiap x R, maka daerah asalnya domainnya adalah R, yaitu himpunan semua bilangan real - , . Kemudian, karena 2 x tidak pernah nilainya nol atau negatif, dan karena terdapat satu nilai x untuk setiap nilai 2 x yang positif, maka daerah hasilnya rangenya adalah himpunan semua bilangan real positif 0 , . Contoh 1.7 Gambarlah grafik fx = x 2 1 , dengan x R. Penyelesaian : y = 2 1 x x y = fx 8 - 7   6 -3 8 5 -2 4 4 -1 2 3 0 1 2 2 4 1 1   -3 -2 -1 0 1 2 3 x 0 Gambar 1.4 Dengan memperhatikan kedua contoh terakhir di atas, kita dapat melihat bahwa grafik fungsi eksponen fx = a x dengan a 1 selalu naik untuk setiap x bertambah, dengan kata lain fx = a x dengan a 1 merupakan fungsi naik . fungsi monoton naik. Sedangkan grafik fungsi eksponen fx = a x dengan 0 a 1 selalu turun untuk setiap x bertambah, dengan kata lain fungsi fx = a x dengan 0 a 1 merupakan fungsi turun . fungsi monoton turun.

d. Logaritma dan Sifat-sifatnya

Apabila kita perhatikan, grafik fungsi-fungsi eksponensial selalu naik atau selalu turun. Oleh karena itu, grafik ini memenuhi Uji Garis Horizontal. Yaitu, grafik fungsi eksponensial ini berpotongan dengan sebarang garis horizontal maksimal di satu titik. Sehingga fungsi eksponensial merupakan fungsi satu-satu. Kita dapat menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu untuk menyelesaikan persamaan eksponensial sederhana.

Sifat Korespondensi Satu-satu

Untuk a > 0 dan a ≠ 1, ax = ay jika dan hanya jika x = y.

Contoh 4: Menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu

Selesaikan persamaan-persamaan eksponensial berikut ini.

Pembahasan

Dengan menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu, kita mendapatkan

Jadi, selesaian dari masalah ini adalah x = 1.
Dengan menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu, kita peroleh

Jadi, x = –3 merupakan selesaian dari persamaan ini.

Dalam contoh selanjutnya kita akan melihat bagaimana menggambar grafik fungsi tanpa melakukan plot titik, akan tetapi dengan menggunakan grafik dasar fungsi-fungsi eksponensial pada Gambar 2 yang kemudian dikenakan pergeseran dan pencerminan.

Contoh 5: Transformasi Fungsi Eksponensial

Gunakan grafik f(x) = 2x untuk mensketsa grafik fungsi-fungsi g(x) = 1 + 2x, h(x) = –2x, dan k(x) = 2x – 1. Nyatakanlah domain, range, dan asimtot dari fungsi-fungsi tersebut.

Pembahasan Untuk mendapatkan grafik g(x) = 1 + 2x, kita mulai dengan grafik f(x) = 2x dan kemudian kita geser grafik fungsi f tersebut ke atas sejauh 1 satuan untuk mendapatkan grafik seperti yang ditunjukkan Gambar 5(a). Dari grafik tersebut kita dapat melihat bahwa domain g merupakan himpunan semua bilangan real, range g adalah selang (1, ∞), dan garis y = 1 merupakan asimtot horizontal.

Begitu juga untuk mendapatkan grafik h(x) = –2x, kita mulai dengan f(x) = 2x, akan tetapi kali ini kita cerminkan grafik tersebut terhadap sumbu-x untuk mendapatkan grafik yang ditunjukkan Gambar 5(b). Berdasarkan grafik ini kita dapat melihat bahwa domain h adalah himpunan semua bilangan real, range fungsi ini merupakan selang (–∞, 0), dan garis y = 0 merupakan asimtot horizontal.

Gambar 5(c) menunjukkan grafik fungsi k(x) = 2x – 1 yang diperoleh dengan menggeser grafik f(x) = 2x ke kanan sejauh satu satuan. Dari grafik ini kita dapat mengamati bahwa domain k adalah himpunan semua bilangan real, range k adalah selang (0, ∞), dan garis y = 0 merupakan asimtot horizontal grafik fungsi k.

Perhatikan bahwa transformasi pada Gambar 5(b) dan 5(c) tetap menjadikan sumbu-x sebagai asimtot horizontal, sedangkan transformasi pada Gambar 5(a) menghasilkan asimtot horizontal baru, yaitu y = 1. Perhatikan juga bahwa masing-masing transformasi di atas mempengaruhi titik potong grafik dengan sumbu-y.

Contoh 6: Membandingkan Fungsi Eksponensial dan Fungsi Pangkat

Bandingkan laju perubahan fungsi eksponensial f(x) = 2x dan fungsi pangkat g(x) = x² dengan menggambar grafik kedua fungsi tersebut pada persegi panjang dengan selang [0, 3] kali [0, 8], [0, 6] kali [0, 25], dan [0, 20] kali [0, 100].

Pembahasan Gambar 4(a) menunjukkan bahwa grafik g(x) = x² berpotongan dengan grafik f(x) = 2x pada x = 2. Setelah itu, grafik g lebih tinggi dari grafik f. Gambaran yang lebih luas ditunjukkan oleh Gambar 4(b). Gambar tersebut menunjukkan bahwa grafik f(x) = 2x kembali lebih tinggi dari grafik g(x) = x² setelah x = 4. Gambar 4(c) memberikan gambaran yang lebih umum dan menunjukkan bahwa ketika nilai x besar, f(x) = 2x jauh lebih besar daripada g(x) = x².

Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika dan tag Basis natural, Bunga majemuk, Fungsi, Fungsi eksponensial, Fungsi kuadrat, Grafik, Korespondensi satu-satu, Soal cerita, Transformasi. Tandai permalink.