Berikut ini merupakan soal dan pembahasan terkait kasus permutasi yang terselesaikan dengan menggunakan prinsip fungsi pembangkit. Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Fungsi Pembangkit: Dasar Bagian 1 Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Fungsi Pembangkit: Dasar Bagian 2 Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi Soal Nomor 1
Kasus ini cenderung mengarah pada kasus permutasi karena pada kata sandi, bolak-baliknya huruf akan dianggap berbeda. Soal Nomor 2
Barisan kuarternair didefinisikan sebagai barisan yang memuat $4$ angka ($4$ digit) yang berbeda, yaitu $0, 1, 2$, dan $3$. Berdasarkan ketentuan di atas, dapat dituliskan:
Karena urutan angka diperhatikan, maka kasus ini digolongkan sebagai kasus permutasi. Misalkan $P(x)$ adalah FPE dari kasus ini sehingga Soal Nomor 3
Barisan binair didefinisikan sebagai barisan yang memuat $2$ angka ($2$ digit) yang berbeda, yaitu $0$ dan $1$. Berdasarkan ketentuan di atas, angka $0$ dan $1$ masing-masing harus sebanyak bilangan genap $(0, 2, 4, 6, 8, \cdots).$ Soal Nomor 4
Barisan ternair didefinisikan sebagai barisan yang memuat $3$ angka ($3$ digit) yang berbeda, yaitu $0, 1$, dan $2$. Berdasarkan ketentuan di atas, angka $0$ harus sebanyak bilangan ganjil $(1, 3, 5, 7, 9, \cdots)$, angka $1$ harus sebanyak bilangan genap $(0, 2, 4, 6, 8, \cdots)$, dan angka $2$ bebas syarat. Soal Nomor 5
Soal ini dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan prinsip permutasi dengan objek yang sama (materi SMA), tetapi kita akan menggunakan prinsip fungsi pembangkit. Perhatikanlah bahwa kita harus menyusun kata yang terdiri dari $10$ huruf dari huruf pembentuk MATEMATIKA (yang juga “kebetulan” terdiri dari $10$ huruf). Berarti, kita sebenarnya hanya perlu membolak-balik susunan hurufnya sedemikian rupa agar berbeda dengan susunan huruf lainnya. Syarat yang diberikan adalah sebagai berikut.
Misalkan $P(x)$ adalah FPE dari kasus ini sehingga dapat ditulis Soal Nomor 6
Diketahui $Z = \{M, A, T, E, I, K\}$ dan $n(Z) = 6$. Ini merupakan kasus permutasi sehingga kita harus menggunakan prinsip fungsi pembangkit eksponensial. Baca: Soal dan Pembahasan- Notasi Sigma Soal Nomor 7
Diketahui $B = \{0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9\}$ dan $n(B) = 8.$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Anggota B} & 0 & 1 & 2 & 3 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \text{Syarat kemunculan} & \geq 1 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 \\ \hline \end{array}$$Fungsi pembangkit eksponensial dari kasus tersebut adalah $$P(x) = \left(x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots\right)\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots\right)^7.$$Ekspresi kurung pertamanya menyatakan fungsi pembangkit dari syarat angka $0$ harus muncul (minimal $1$ kali), sedangkan ekspresi kurung keduanya menyatakan fungsi pembangkit dari $7$ angka lainnya yang bebas syarat. Bila dilanjutkan, $P(x) = (e^x-1)(e^x)^7 = e^{8x}- e^{7x}.$ Ubah ke dalam notasi sigma. $\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(8x)^n}{n!}- \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(7x)^n}{n!} \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{8^nx^n}{n!}- \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{7^nx^n}{n!} \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (8^n-7^n)\dfrac{x^n}{n!}. \end{aligned}$ Banyak cara menyusun barisan $n$ angka dari $B$ dengan syarat angka $0$ harus muncul sama dengan koefisien $\dfrac{x^n}{n!}$ dalam $P(x)$, yaitu $a_n = 8^n-7^n, n \geq 0.$ Jawaban b) Tabel berikut menyatakan syarat kemunculan angka pada $B$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Anggota B} & 0 & 1 & 2 & 3 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \text{Syarat kemunculan} & \geq 1 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 1 & \geq 0 \\ \hline \end{array}$$Fungsi pembangkit eksponensial dari kasus tersebut adalah $$P(x) = \left(x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots\right)^2\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots\right)^6.$$Ekspresi kurung pertamanya menyatakan fungsi pembangkit dari syarat angka $0$ dan $8$ harus muncul (minimal $1$ kali), sedangkan ekspresi kurung keduanya menyatakan fungsi pembangkit dari $6$ angka lainnya yang bebas syarat. Bila dilanjutkan, $\begin{aligned} P(x) & = (e^x- 1)^2(e^x)^6 \\ & = (e^{2x}- 2e^x + 1)(e^{6x}) \\ & = e^{8x}-2e^{7x} + e^{6x}. \end{aligned}$ Ubah ke dalam notasi sigma. $$\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(8x)^n}{n!}-2 \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(7x)^n}{n!}+ \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(6x)^n}{n!} \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{8^nx^n}{n!}-2 \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{7^nx^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{6^nx^n}{n!} \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (8^n-2 \cdot 7^n + 6^n)\dfrac{x^n}{n!}. \end{aligned}$$Banyak cara menyusun barisan $n$ angka dari $B$ dengan syarat angka $0$ dan $8$ harus muncul sama dengan koefisien $\dfrac{x^n}{n!}$ dalam $P(x)$, yaitu $a_n = 8^n-2 \cdot 7^n + 6^n, n \geq 0.$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Anggota B} & 0 & 1 & 2 & 3 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \text{Syarat kemunculan} & \text{genap} & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 \\ \hline \end{array}$$Fungsi pembangkit eksponensial dari kasus tersebut adalah $$P(x) = \left(1 + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \cdots\right)\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots\right)^7.$$Ekspresi kurung pertamanya menyatakan fungsi pembangkit dari syarat angka $0$ muncul sebanyak genap (boleh tidak muncul alias $0$ kali, atau $2$ kali, $4$ kali, atau seterusnya), sedangkan ekspresi kurung keduanya menyatakan fungsi pembangkit dari $7$ angka lainnya yang bebas syarat. Bila dilanjutkan, $$P(x) = \left(\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\right)(e^x)^7 = \dfrac{e^{8x} + e^{6x}}{2}.$$Ubah ke dalam notasi sigma. $$\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \dfrac{1}{2} \left(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(8x)^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(6x)^n}{n!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{8^nx^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{6^nx^n}{n!}\right) \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2}(8^n + 6^n)\dfrac{x^n}{n!}. \end{aligned}$$Banyak cara menyusun barisan $n$ angka dari $B$ dengan syarat angka $0$ muncul sebanyak genap sama dengan koefisien $\dfrac{x^n}{n!}$ dalam $P(x)$, yaitu $a_n = \dfrac{1}{2}(8^n + 6^n), n \geq 0.$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Anggota B} & 0 & 1 & 2 & 3 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \text{Syarat kemunculan} & \text{ganjil} & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 & \geq 0 \\ \hline \end{array}$$Fungsi pembangkit eksponensial dari kasus tersebut adalah $$P(x) = \left(x + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots\right)\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots\right)^7.$$Ekspresi kurung pertamanya menyatakan fungsi pembangkit dari syarat angka $0$ muncul sebanyak ganjil ($1$ kali, $3$ kali, $5$ kali, atau seterusnya), sedangkan ekspresi kurung keduanya menyatakan fungsi pembangkit dari $7$ angka lainnya yang bebas syarat. Bila dilanjutkan, $$P(x) = \left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)(e^x)^7 = \dfrac{e^{8x}-e^{6x}}{2}.$$Ubah ke dalam notasi sigma. $$\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \dfrac{1}{2} \left(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(8x)^n}{n!}-\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(6x)^n}{n!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{8^nx^n}{n!}-\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{6^nx^n}{n!}\right) \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2}(8^n-6^n)\dfrac{x^n}{n!}. \end{aligned}$$Banyak cara menyusun barisan $n$ angka dari $B$ dengan syarat angka $0$ muncul sebanyak genap sama dengan koefisien $\dfrac{x^n}{n!}$ dalam $P(x)$, yaitu $a_n = \dfrac{1}{2}(8^n-6^n), n \geq 0.$ |