A temperatura média diária, T, para um determinado ano

os quais a equação na variável real x, arctg [Ë2 - 1 + (eÑ/2)] + arctg [Ë2 - 1 - (eÑ/2)] = a, admite solução. 64. (Fatec) No intervalo ]0, ™[ , os gráficos das funções definidas por y = sen x e y = sen 2x interceptam-se em um único ponto. A abscissa x desse ponto é tal que a) 0 < x < ™/4 b) ™/4 < x < ™/2 c) x = ™/4 d) ™/2 < x < 3™/4 e) 3™/4 < x < 2™ 65. (Fgv) No intervalo [0,2™], a equação trigonométrica sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale: a) ™ b) 2™ c) 3™ d) 4™ e) 5™ 66. (Mackenzie) Se sen¥x = 1 + cos£x, então x pode pertencer ao intervalo: a) [™/4; 3™/4] b) [0; ™/6] c) [™; 5™/4] d) [™/6; ™/3] e) [5™/3; 2™] 67. (Ufscar) Sendo sen ‘ + cos ‘ = 1/5, a) determine sen ‘ e cos ‘. b) represente no círculo trigonométrico todos os ângulos ‘ que satisfazem a igualdade dada. 68. (Pucrs) A solução da equação cos [3x - (™/4)] = 0, quando 0 ´ x ´ ™/2, é a) ™/4 b) -™/4 c) 7™/12 d) ™/2 e) 0 69. (Unesp) O conjunto de todos os pontos P(x, y) do plano, com y · 0, para os quais x e y satisfazem a equação sen [y/(x£+1)] = 0 é uma a) família de parábolas. b) família de circunferências centradas na origem. c) família de retas. d) parábola passando pelo ponto Q(0,1). e) circunferência centrada na origem. 8 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 70. (Ita) Prove que, se os ângulos internos ‘, ’ e – de um triângulo satisfazem a equação sen (3‘) + sen (3’) + sen (3–) = 0, então, pelo menos, um dos três ângulos ‘, ’ ou – é igual a 60°. 71. (Uerj) A temperatura média diária, T, para um determinado ano, em uma cidade próxima ao pólo norte é expressa pela função abaixo. T = 50sen [ (2™/365) (t - 101) ] + 7 Nessa função, t é dado em dias, t = 0 corresponde ao dia 1° de janeiro e T é medida na escala Fahrenheit. A relação entre as temperaturas medidas na escala Fahrenheit (F) e as temperaturas medidas na escala Celsius (C), obedece, por sua vez, à seguinte equação: C = (5/9) (F - 32) Em relação a esse determinado ano, estabeleça: a) o dia no qual a temperatura será a menor possível; b) o número total de dias em que se esperam temperaturas abaixo de 0°C. 72. (Ufrj) A equação x£ - 2xcosš + sen£š = 0 possui raízes reais iguais. Determine š, 0 ´ š ´ 2™. 73. (Fuvest) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos£‘) x£ - (4 cos‘ sen’) x + (3/2) sen’ = 0, sendo ‘ e ’ os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo. Pode-se então afirmar que as medidas de ‘ e ’ são, respectivamente, a) ™/8 e 3™/8 b) ™/6 e ™/3 c) ™/4 e ™/4 d) ™/3 e ™/6 e) 3™/8 e ™/8 74. (Fuvest) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2™] que satisfazem a equação cos£ 2x = (1/2) - sen£ x. 75. (Uerj) Uma população P de animais varia, aproximadamente, segundo a equação abaixo. P = 800 - 100 sen [(t + 3) ™ / 6] Considere que t é o tempo medido em meses e que 1° de janeiro corresponde a t = 0. Determine, no periodo de 1° de janeiro a 1° de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a população de animais atinge: a) um total de 750; b) seu número mínimo. 76. (Unicamp) a) Encontre todos os valores reais de x para os quais -1´[(x£+4)/4x]´1. b) Encontre todos os valores reais de x e y satisfazendo x£+4xcosy+4=0. 77. (Pucpr) Sendo 0 ´ x ´ ™/2, o valor de x para que o determinante da matriz seja nulo é: a) ™/2 b) ™/3 c) ™/6 d) ™/4 e) ™ 9 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r GABARITO 1. 20 2. 01 + 04 + 08 + 16 = 29 3. a) ‘ = (™/8) + (k™/2), k Æ Z b) ((Ë2) - 2; 1) 4. 30°, 60° e 90°. 5. Soma = 0 6. itens corretos: 04, 08 e 32 itens incorretos: 01, 02, 16 e 64 7. (™/6; ™/3), (™/6; 5™/3), (5™/6; ™/3), e (5™/6; 5™/3) 8. š = 3™/8 + n™/2 9. A 10. D 11. C 12. 47 13. D 14. V = {™/6, 5™/6} 15. C 16. 16 17. B 18. A 19. D 20. E 21. C 22. A 23. D 24. B 25. B 26. D 27. S = {0; ™/3; ™/2; 2™/3; ™; 4™/3; 3™/2; 5™/3} 28. A 29. E 30. D 31. B 32. C 33. a) S (™/3) = 4 . (1 + Ë3) b) V = {-(5™)/6; -™/6; (7™)/6; (11™)/6} 34. Como ™/2 e 3™/2 não são soluções, o número de soluções da equação é o mesmo que o número de soluções da equação tan(x)=-1, que tem 2 soluções entre 0 e 2™. 35. ab = 1 36. A 37. p = 2 38. V={(™/3, ™/6); (2™/3, ™/6); (0, ™/2); (™, ™/2); (™/3,5™/6); (2™/3, 5™/6)} 39. C 40. E 41. A 42. A 43. A 44. B 45. E 46. a) ™/4 ou ™/2 ou 3™/4 b) 0 < x < ™/4 ou ™/2 < x < 3™/4 47. a) {™/4, 3™/4} b) {™/6, 5™/6, 3™/2} 48. a) 12 b) 20°C e 15 horas 49. a) t = -15/2 + 12 . n, com n Æ IN* b) 4,5 horas 50. a) sen£š - 2 .cos£š + 1/2 .sen (2.š) = 0 ë ë 1 - cos£š - 2 .cos£š + 1/2 .2.senš.cosš = 0 ë ë 1 - 3 .cos£š + senš.cosš = 0. Os valores de š, para os quais cos š=0, não são soluções da equação dada, pois, neste caso a sentença resultante é 1-0+0=0, que é falsa. b) • (Ë2)/2 ou • (Ë5)/5. 51. {™/4, 3™/4, 7™/6, 5™/4, 7™/4, 11™/6} 52. C 53. B 54. A 55. C 56. A 57. E 58. A equação vale para todo x. 59. C 60. D 61. D 62. C 63. 0 < a <™/4 64. B 65. E 66. A 67. a) sen ‘ = 4/5 e cos ‘ = -3/5 ou sen ‘ = -3/5 e cos ‘ = 4/5 b) 10 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 68. A 69. A 70. Sejam ‘, ’ e – as medidas dos ângulos internos de um triângulo (‘, ’ e – Æ ]0, ™[). Temos que ‘ + ’ + – = ™ Ì – = ™ - ‘ - ’. sen(3‘) + sen(3’) + sen(3–) = sen(3‘) + sen(3’) + sen [3(™ - ‘ - ’)] = 2 sen [(3‘ + 3’)/2] cos [(3‘ - 3’)/2] + sen [3™ - (3‘ + 3’)] = 2 sen [(3‘ + 3’)/2] cos [(3‘ - 3’)/2] + sen (3‘ + 3’) = 2 sen [(3‘ + 3’)/2] cos [(3‘ - 3’)/2] + 2sen [(3‘ + 3’)/2] cos [(3‘ + 3’)/2] = 2 sen [(3‘ + 3’)/2] { cos [(3‘ - 3’)/2] + cos [(3‘ + 3’)/2] } = 2 sen [3(‘ + ’)/2] 2 cos (3‘/2) cos (-3’/2) = 4 sen [3(™ - –)/2] cos (3‘/2) cos (3’/2) = 4 sen [(3™/2) - (3–/2)] cos (3‘/2) cos (3’/2) = - 4 cos (3–/2) cos (3‘/2) cos (3’/2). Desse modo, - 4 cos (3–/2) cos (3‘/2) cos (3’/2) = 0 se, e somente se: cos (3‘/2) = 0 ou cos (3’/2) = 0 ou cos (3–/2) = 0 O que nos dá: 3‘/2 = ™/2 ë ‘ = ™/3 = 60° ou 3’/2 = ™/2 ë ’ = ™/3 = 60° ou 3–/2 = ™/2 ë – = ™/3 = 60° c.q.d. 71. a) 10 de janeiro b) 243 dias 72. š = ™/4 ou 3™/4 ou 5™/4 ou 7™/4 73. D 74. S = { ™/6, ™/4, 3™/4, 5™/6, 7™/6, 5™/4, 7™/4, 11™/6 } 75. a) Novembro e março. b) Somente no mês de janeiro. 76. a) x = 2 ou x = - 2 b) x = 2 e y = ™ + h2™, h Æ Z ou x = - 2 e y = h2™, h Æ Z 77. D